Обработка результатов прямых многократных наблюдений
Цифровым измерителем иммитанса Е7-14 проводились прямые многократные измерения сопротивления магазина сопротивлений марки Р33, номинальное значение которого равно 0,1 Ом. Измерения проводились в диапазоне рабочих температур измерителя иммитанса.
Проведенные измерения характеризуются неисключенной систематической погрешностью, задаваемой пределом допускаемого значения:
основной погрешности измерения измерителя Е7–14, определяемой по формуле (для диапазона измерения от 0,1 … 1000 мОм)
,
где Q – добротность катушки сопротивления (для данного магазина сопротивлений добротность Q = 0); Rk – конечное значение диапазона, Ом;
дополнительной погрешности измерения в диапазоне рабочих температур, которая задана формулой
,
где k – множитель, определяемый по таблице 2.1.
Таблица 2.1
Значение множителя k для расчета дополнительной погрешности Е7–14
Вторая цифра варианта 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Множитель k 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,2
Для устранения влияния соединительных проводов и переходных сопротивлений контактов был проведен ряд измерений при нулевом значении магазина сопротивлений. Получены результаты измерения R0i, мОм.
Требуется провести обработку результатов наблюдений:
− определить и исключить систематические погрешности;
− для исправленных результатов наблюдений вычислить среднее арифметическое значение, оценку СКО результатов наблюдений и оценку СКО среднего арифметического;
− проверить результаты измерений на наличие грубых погрешностей и промахов;
− проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;
− вычислить доверительные (интервальные) границы случайной погрешности результата измерения;
− вычислить границы неисключенной систематической погрешности θ;
− вычислить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать результат измерения.
Уровень значимости проверки гипотез принять q = 0,05, доверительные границы при расчете погрешностей Рд = 0,95.
Исходные данные:
− результаты измерения Ri: 145,38; 145,38; 145,39; 145,39; 145,39; 145,40; 145,41; 145,43; 145,43; 145,44; 145,45; 145,46; 145,46; 145,47; 145,48; 145,48 мОм.
− результаты измерения R0i: 45,28; 45,30; 45,31; 45,32; 45,35 мОм.
Решение
1. Определение систематической погрешности.
Систематическая погрешность измерения сопротивления состоит из трех составляющих, обусловленных:
ненулевым значением сопротивления соединительных проводов и переходных контактов зажимов используемых средств измерений;
основной и дополнительной погрешностями измерителя иммитанса Е7−14.
Первая из них может быть оценена исходя из данных измерений нулевого сопротивления магазина. Полученный ряд данных характеризуется средним арифметическим значением и оценкой его СКО:
R0=1ni=1nR0i;
SR0=1n*n-1i=1nR0i-R02,
где n – количество измерений; R0 – среднее арифметическое значение нулевого сопротивления магазина, мОм; SR0 – оценка СКО нулевого сопротивления магазина, мОм.
Для удобства расчетов составим таблицу 2.2.
Таблица 2.2
Расчет среднего арифметического значения и оценки СКО сопротивления соединительных проводов и переходных контактов зажимов
R0i
R0i-R0
R0i-R02
45,28 -0,032 0,001024
45,30 -0,012 0,000144
45,31 -0,002 0,000004
45,32 0,008 0,000064
45,35 0,038 0,001444
R0i=226,56
R0i-R02=0,00268
R0=15i=15R0i=45,312 мОм;
SR0=15*5-1i=15R0i-45,312 2=0,0116 мОм.
Сопротивление проводов постоянно присутствует в результатах измерений и по своей сути является систематической погрешностью, которая может быть исключена из результатов измерений путем введения поправки, равной θ = –45,312 мОм.
После введения поправки получается исправленный ряд значений сопротивления Rиi: 100,068; 100,068; 100,078; 100,078; 100,078; 100,088; 100,098; 100,118; 100,118; 100,128; 100,138; 100,148; 100,148; 100,158; 100,168; 100,168 мОм.
2. Определение среднего арифметического и оценки СКО исправленных результатов.
Среднее арифметическое исправленных значений сопротивления и его оценку СКО определяем по формуле:
Rи=1ni=1nRиi;
SRи=1n*n-1i=1nRиi-Rи2,
где Rиi – значения сопротивлений исправленного ряда, мОм; SRи – оценка СКО среднего арифметического исправленных значений сопротивления, мОм.
Для удобства расчетов составим таблицу 2.3.
Rи=116i=1nRиi=100,1155 мОм;
SRи=116*16-1i=1nRиi-100,11552=0,009106 мОм.
Оценку СКО исправленных результатов измерений определяем по формуле:
SRи=1n-1i=1nRиi-Rи2=
=116-1i=1nRиi-100,11552=0,036423 мОм.
Таблица 2.3
Расчет среднего арифметического значения и оценки СКО сопротивления магазина сопротивлений (по исправленному ряду значений)
Rиi
Rиi-Rи
Rиi-Rи2
100,068 -0,0475 0,00225625
100,068 -0,0475 0,00225625
100,078 -0,0375 0,00140625
100,078 -0,0375 0,00140625
100,078 -0,0375 0,00140625
100,088 -0,0275 0,00075625
100,098 -0,0175 0,00030625
100,118 0,0025 0,00000625
100,118 0,0025 0,00000625
100,128 0,0125 0,00015625
100,138 0,0225 0,00050625
100,148 0,0325 0,00105625
100,148 0,0325 0,00105625
100,158 0,0425 0,00180625
100,168 0,0525 0,00275625
100,168 0,0525 0,00275625
Rиi=1601,848
Rиi-Rи2=0,0199
3
. Проверка результатов измерений на наличие грубых погрешностей.
Для проверки результатов измерений на наличие грубых погрешностей используем критерий Романовского. Вычисляем отношение:
Rи-RиiSRи=β
и полученное значение β сравниваем с теоретическим βт при заданном уровне значимости q. Если полученное значение β ≥ βт, результат измерения исключают и проверяют следующий и т.д. По новой выборке заново проводят все расчеты.
Для нашего примера при уровне значимости q=0,05 и n=16, табличный коэффициент βт= 2,67.
Проверим крайние значения результатов измерения Rиmax и Rиmin:
100,1155-100,0680,036423=1,30<2,67;
100,1155-100,1680,036423=1,44<2,67,
т.е. все результаты измерений приняты.
4. Проверка гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.
Для проверки гипотезы используем составной критерий , т.к. число измерений n =16. Уровень значимости проверки гипотез принимаем в соответствии с условием: q1=0,05 и q2=0,05.
Вычисляем статистику по формуле:
d=i=1nRиi-Rиn*i=1nRиi-Rи2,
где квантили распределения определяются по соответствующей таблице.
Если при данном числе измерений n и выбранном уровне значимости q1 соблюдается условие: d1-0,5*q1<d≤d0,5*q1,
то гипотеза о нормальности распределения на основании первого критерия принимается, если − нет, то отвергается.
В нашем случае по формуле:
d=0,50516*0,0199=0,895.
Из вышеприведенной таблицы для n = 16 и q1= 0,05 находим квантили d0,025=0,9042 и d0,975=0,6982.
Сравнение статистики d с квантилями показывает, что
0,6982 < d = 0,895 < 0,9042.
Это означает, что в соответствии с первым критерием (при уровне значимости 0,05) результаты измерений могут быть признаны распределенными по нормальному закону.
Гипотеза по второму критерию принимается, если не более m абсолютных разностей результатов измерений Rиi-Rи при заданном уровне значимости, превышают значение:
tp*SRи,
где tp – квантиль, соответствующая интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(tp) = 0,5(1 + Р), определяемая по соответствующей таблице.
При q2= 0,05, n = 16 находим Р = 0,98, m = 1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
