Обработка результатов косвенных многократных наблюдений. Определение параметра Z

1. Определение оценки истинного значения искомого параметра.
При ограниченном числе измерений (n≠∞) оценкой истинного значения физической величины Z, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение Z, полученное после выполнения вычислительных операций со средними арифметическими значениями x1, x2,… , xj,… , xm аргументов в соответствии с этой функцией:
Z=Fx1, x2,… , xj,… , xm.
Средние арифметические значения параметров xi определяем по формуле:
xi=1ni=1nxi;
x1=19,71+19,73+19,75+19,74+19,725=19,73;
x2=31,9+31,5+31,8+31,2+31,45=31,56;
x3=9,23+9,24+9,26+9,29+9,215=9,246.
Оценка истинного значения Z с учетом вида ее функции:
Z=5*19,73331,56*9,246=131,601.
2. Определение оценки среднеквадратического отклонения искомого параметра.
Оценку дисперсии результата косвенного измерения определяют по формуле:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2+2*i,j=1mrij*∂F∂xi*∂F∂xj*Sxi*Sxj,
где Sxj2 – оценка дисперсии результата измерения j-го аргумента; ∂F∂xj*Sxj – частные погрешности косвенного измерения; rij – коэффициенты корреляции
погрешностей всех испытаний j и i, кроме i = j.
В тех же случаях, когда исходные величины измеряют с помощью различных средств измерения в разное время, можно с полным правом ожидать, что результаты, если и будут коррелированны, то очень мало, и коэффициентом корреляции можно пренебречь, поэтому рассматриваемое выражение примет вид:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2.
Оценку среднеквадратического отклонения результата измерения j-го
аргумента определяем по формуле:
Sxj=1n*n-1i=1nxi-X2;
Sx1=15*5-1i=15x1i-19,732=0,00707;
Sx2=15*5-1i=15x2i-31,562=0,12884;
Sx3=15*5-1i=15x3i-9,2462=0,01364.
Вычислим частные производные и частные погрешности косвенных измерений по каждому параметру xj:
∂Z∂x1*Sx1=15*x12x2*x3*Sx1=15*19,73231,56*9,246*0,00707=0,1415;
∂Z∂x2*Sx2=-5*x13x22*x3*Sx2=-5*19,73331,562*9,246*0,12884=-0,5372;
∂Z∂x3*Sx3=-5*x13x2*x32*Sx3=-5*19,73331,56*9,2462*0,01364=-0,1941.
Таким образом, оценка СКО косвенного измерения параметра Z составляет:
SZ=0,14152+-0,53722+-0,19412=0,5885.
Далее необходимо определить эффективное число степеней свободы по формуле:
kэф=j=1m∂F∂xj2*Sxj22-2*j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1,
где nj - число наблюдений, выполненное при измерении j-го аргумента.
Для удобства расчетов составляем таблицу 3.2.
Таблица 3.2
Параметр ∂Z∂xj
∂Z∂xj2
∂Z∂xj4
Sxj
Sxj2
Sxj4
x1
20,01 400,4 160320 0,00707 5*10-5
25*10-10
x2
4,17 17,4 302,4 0,12884 0,0166 0,000276
x3
14,23 202,5 41003 0,01364 0,000186 3,46*10-8
kэф=0,12-2*0,01420,0142=6,5.
При таком числе степеней свободы для доверительной вероятности Р = 95 % по таблице коэффициентов Стьюдента находим t 0,95= 2,406