Обработка результатов косвенных многократных наблюдений
Определение параметра Z = f(х1, х2, х3) проводится с помощью прямых многократных измерений параметров х1, х2, х3, для каждого из которых известны основные метрологические характеристики применяемых средств измерений – пределы измерений (ПИ) и класс точности (КТ).
Требуется:
провести обработку результатов измерений;
найти суммарную погрешность косвенного измерения параметра Z измерения c доверительной вероятностью Р = 95 %.
Исходные данные приведены в таблице 5.
Таблица 5
Исходные данные
Измеряемый
параметр Пределы
измерений Класс
точности Вид
функции
х1 18,64; 18,67; 18,68; 18,67; 18,53 ±25 0,01 Z =
х2 30,2; 30,9; 30,5; 30,4; 30,7 0…45 236854361950,25
000,25
х3 8,22; 8,29; 8,28; 8,27; 8,26 ±15 0,2/0,15
Решение
1. Определение оценки истинного значения искомого параметра.
При ограниченном числе измерений (n≠∞) оценкой истинного значения физической величины Z, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение Z, полученное после выполнения вычислительных операций со средними арифметическими значениями x1, x2,… , xj,… , xm аргументов в соответствии с этой функцией:
Z=Fx1, x2,… , xj,… , xm.
Средние арифметические значения параметров xi определяем по формуле:
xi=1ni=1nxi;
x1=18,64+18,67+18,68+18,67+18,535=18,638;
x2=30,2+30,9+30,5+30,4+30,75=30,54;
x3=8,22+8,29+8,28+8,27+8,265=8,264.
Оценка истинного значения Z с учетом вида ее функции:
Z=6*30,54318,638*8,264=1109,606.
2. Определение оценки среднеквадратического отклонения искомого параметра.
Оценку дисперсии результата косвенного измерения определяют по формуле:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2+2*i,j=1mrij*∂F∂xi*∂F∂xj*Sxi*Sxj,
где Sxj2 – оценка дисперсии результата измерения j-го аргумента; ∂F∂xj*Sxj – частные погрешности косвенного измерения; rij – коэффициенты корреляции
погрешностей всех испытаний j и i, кроме i = j.
В тех же случаях, когда исходные величины измеряют с помощью различных средств измерения в разное время, можно с полным правом ожидать, что результаты, если и будут коррелированны, то очень мало, и коэффициентом корреляции можно пренебречь, поэтому рассматриваемое выражение примет вид:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2.
Оценку среднеквадратического отклонения результата измерения j-го
аргумента определяем по формуле:
Sxj=1n*n-1i=1nxi-X2;
Sx1=15*5-1i=15x1i-18,6382=0,02782;
Sx2=15*5-1i=15x2i-30,542=0,12083;
Sx3=15*5-1i=15x3i-8,2642=0,01208.
Вычислим частные производные и частные погрешности косвенных измерений по каждому параметру xj:
∂Z∂x1*Sx1=-6*x23x12*x3*Sx1=-6*30,54318,6382*8,264*0,02782=-1,656;
∂Z∂x2*Sx2=18*x22x1*x3*Sx2=18*30,54218,638*8,264*0,12083=13,170;
∂Z∂x3*Sx3=-6*x23x32*x1*Sx3=-6*30,5438,2642*18,638*0,01208=-1,622.
Таким образом, оценка СКО косвенного измерения параметра Z составляет:
SZ=-1,6562+13,1702+-1,6222=13,372.
Далее необходимо определить эффективное число степеней свободы по формуле:
kэф=j=1m∂F∂xj2*Sxj22-2*j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1,
где nj - число наблюдений, выполненное при измерении j-го аргумента.
Для удобства расчетов составляем таблицу 3.1.
Таблица 3.1
Параметр ∂Z∂xj
∂Z∂xj2
∂Z∂xj4
Sxj
Sxj2
Sxj4
x1
59,5 3540 1,25*107
0,02782 0,000774 6*10-7
x2
109 11881 1,41*108
0,12083 0,0146 0,000213
x3
134,3 18036 3,25*108
0,01208 0,000146 2,13*10-8
kэф=178,82-2*50085008=4,4.
При таком числе степеней свободы для доверительной вероятности Р = 95 % интерполяцией данных по таблице коэффициентов Стьюдента находим t 0,95= 2,694
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
