Непрерывная случайная величина 𝑋 распределена по нормальному закону

Для непрерывных сообщений частное количество информации, которое содержится в 𝑥 относительно 𝑌, определяется соотношением
Ix,Y=-∞∞pyx∙log2pyxpydy=-∞∞pyx∙lnpyxpyln2dy=1ln2∙-∞∞pyx∙lnpyxpydy
Полное среднее количество информации 𝑋 относительно 𝑌 можно представить в виде
IX,Y=-∞∞px∙I(x,Y)dx
Используя свойства найдем значения характеристик величины Y=X+Z:
Y=X+Z=0+0=0
σy2=DY=DX+Z=DX+DZ=σx2+σz2=16+9=25
rxy=XY-X∙Yσx2∙σy2=MXY-0∙016∙25=MX∙X+Z4∙5=MX2+MXZ20=DX+MX2+MX∙MZ20=σx2+X2+X∙Z20=16+02+0∙020=0,8
Имеем плотности:
px=1σx2π∙e-x22σx2=14∙2π∙e-x22∙16=14∙2π∙e-x232
pyx=1σy-x2π∙e-(y-x)22σy-x2=1σz2π∙e-z22σz2=13∙2π∙e-z22∙9=13∙2π∙e-z218=13∙2π∙e-(y-x)218
Получаем логарифм:
lnpyxpy=ln13∙2π∙e-z21815∙2π∙e-y250=ln53∙ey250-z218=ln53+lney250-z218=ln53+y250-z218=ln53+y250-y-x218=ln53-8225y2+yx9-118x2
Вычисляем интеграл частного количества информации:
-∞∞13∙2π∙e-y-x218∙ln53-8225y2+yx9-118x2dy=13∙2π∙ln53-118x2∙-∞∞e-y-x218dy+13∙2π∙-8225∙-∞∞y2∙e-y-x218dy+13∙2π∙x9∙-∞∞y∙e-y-x218dy
Рассмотрим каждый интеграл:
-∞∞e-y-x218dy=-∞∞e-y-x218dy-x=π118=32π
-∞∞y2∙e-y-x218dy=t=y-x,dt=dy=-∞∞(t+x)2∙e-t218dt=-∞∞(t2+2tx+x2)∙e-t218dt=-∞∞t2∙e-t218dt+2x∙-∞∞t∙e-t-0218dt+x2∙-∞∞e-t218dt=12∙π1183+2x∙0+x2∙32π=32π∙(x2+9)
-∞∞y∙e-y-x218dy=x∙π118=3x2π
Получаем:
-∞∞13∙2π∙e-y-x218∙ln53-8225y2+yx9-118x2dy=13∙2π∙ln53-118x2∙32π-13∙2π∙8225∙32π∙x2+9+13∙2π∙x9∙3x2π=ln53-825+150∙x2
Тогда:
Ix,Y=1ln2∙ln53-825+150∙x2
IX,Y=-∞∞14∙2π∙e-x232∙1ln2∙ln53-825+150∙x2dx=1ln2∙14∙2π∙ln53-825∙-∞∞e-x232dx+150∙-∞∞x2∙e-x232dx=1ln2∙14∙2π∙ln53-825∙π132+150∙12∙π1322=1ln2∙ln53=log253=0,7370