Необходимо вычислить значение производной тремя способами

Находим аналитические выражения для производных данной функции:

Используем формулы для первой (т=1) и второй (т=2, n=2) производных в узлах, расположенных с постоянным шагом h> 0:
,(2.19)
(2.25)
Выполняем расчет производных на отрезке [-1;4] для шага h=0.25 с помощью точных формул и указанных формул численного дифференцирования:
x y y' точно y'
(2.19) Δy' δy' y'' точно y'' (2.25) Δy'' δy''
-1.00 -2.2874 3.7560 3.3773 0.3787 0.101 -2.9374 -3.0678 0.1304 0.044
-0.75 -1.4430 2.9920 2.6104 0.3817 0.128 -3.0980 -3.0678 0.0302 0.010
-0.50 -0.7904 2.2373 1.8911 0.3463 0.155 -2.8938 -2.8772 0.0166 0.006
-0.25 -0.3177 1.5618 1.2707 0.2911 0.186 -2.4882 -2.4815 0.0067 0.003
0.00 0.0000 1.0000 0.7707 0.2293 0.229 -2.0000 -1.9999 0.0001 0.000
0.25 0.1927 0.5619 0.3924 0.1695 0.302 -1.5092 -1.5131 0.0039 0.003
0.50 0.2908 0.2415 0.1248 0.1167 0.483 -1.0646 -1.0706 0.0060 0.006
0.75 0.3220 0.0236 -0.0497 0.0733 3.102 -0.6913 -0.6979 0.0067 0.010
1.00 0.3096 -0.1108 -0.1507 0.0399 0.360 -0.3975 -0.4040 0.0064 0.016
1.25 0.2719 -0.1815 -0.1973 0.0157 0.087 -0.1807 -0.1863 0.0057 0.031
1.50 0.2226 -0.2068 -0.2063 0.0005 0.002 -0.0316 -0.0362 0.0046 0.147
1.75 0.1710 -0.2020 -0.1917 0.0102 0.051 0.0619 0.0584 0.0036 0.058
2.00 0.1231 -0.1794 -0.1642 0.0152 0.085 0.1126 0.1101 0.0026 0.023
2.25 0.0820 -0.1482 -0.1315 0.0167 0.113 0.1324 0.1307 0.0017 0.013
2.50 0.0491 -0.1149 -0.0989 0.0160 0.139 0.1315 0.1305 0.0010 0.008
2.75 0.0244 -0.0835 -0.0695 0.0140 0.168 0.1182 0.1177 0.0005 0.004
3.00 0.0070 -0.0563 -0.0449 0.0114 0.203 0.0986 0.0984 0.0002 0.002
3.25 -0.0042 -0.0344 -0.0256 0.0088 0.255 0.0771 0.0772 0.0001 0.001
3.50 -0.0106 -0.0177 -0.0114 0.0063 0.356 0.0566 0.0568 0.0002 0.004
3.75 -0.0134 -0.0059 -0.0017 0.0042 0.713 0.0386 0.0389 0.0003 0.007
4.00 -0.0139 0.0019 0.0044 0.0025 1.318 0.0239 0.0389 0.0149 0.624
Результаты показывают, что при шаге h=0.25 относительная погрешность вычисления первой производной на отрезке [-1;0] – от 10% до 22%, вычисления второй производной – от 0% до 4.5%.
Для сравнения проведем вычисления для шага h=0.1:
x y y' точно y'
(2.19) Δy' δy' y'' точно y'' (2.25) Δy'' δy''
-1.00 -2.2874 3.7560 3.6068 0.1492 0.040 -2.9374 -3.0514 0.1140 0.039
-0.90 -1.9267 3.4556 3.3017 0.1539 0.045 -3.0578 -3.0514 0.0064 0.002
-0.80 -1.5965 3.1471 2.9921 0.1550 0.049 -3.1011 -3.0958 0.0053 0.002
-0.70 -1.2973 2.8375 2.6845 0.1530 0.054 -3.0804 -3.0761 0.0043 0.001
-0.60 -1.0288 2.5327 2.3841 0.1486 0.059 -3.0077 -3.0043 0.0034 0.001
-0.50 -0.7904 2.2373 2.0950 0.1424 0.064 -2.8938 -2.8911 0.0026 0.001
-0.40 -0.5809 1.9550 1.8203 0.1347 0.069 -2.7481 -2.7462 0.0019 0.001
-0.30 -0.3989 1.6885 1.5626 0.1259 0.075 -2.5791 -2.5778 0.0013 0.001
-0.20 -0.2427 1.4397 1.3232 0.1165 0.081 -2.3941 -2.3933 0.0008 0.000
-0.10 -0.1103 1.2100 1.1033 0.1067 0.088 -2.1993 -2.1989 0.0004 0.000
0.00 0.0000 1.0000 0.9033 0.0967 0.097 -2.0000 -2.1989 0.1989 0.099
=0,1
Можно сделать вывод, что погрешности первой производной уменьшились примерно в 2,5 раза, погрешности второй производной - примерно в 6 раз, что соответствует порядку точности используемых формул численного дифференцирования.