Необходимо рассчитать балку (рисунок 2), расположенную на шарнирных опорах. На балку действуют сосредоточенная сила P, момент М и равномерно распределенная нагрузка q.
Требуется:
Определить опорные реакции.
Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
Из условия прочности подобрать номера швеллера и двутавра, а также определить диаметр круга и размеры прямоугольника.
Выбрать профиль балки с наименьшей площадью поперечного сечения.
Для выбранной балки составить примерное дифференциальное уравнение упругой линии, построить эпюры углов поворота сечений и прогибов.
Решение
Дана балка на двух опорах, на которую действуют: равномерно распределенная нагрузка q = 1 кН/м, сосредоточенная сила Р = 2 кН, и момент М = 12 кН⋅м (рисунок П2.1). Длина участков l1 = 0,4 м, l2 = 0,2 l1, l3 = l1, l4 = 0,2 l1, l5 = 0,6 l1, l6 = 1,1 l1, l7 = 2 l1. Соотношение размеров прямоугольного сечения h/b= 1,4. Механические характеристики материала Сталь 15: [σ]= 205 МПа, Е = 2∙105 МПа, коэффициент запаса n = 1,4.
Определяем реакции в опорах.
MAi=0,
M-q⋅3,9l11,6l1+3,9l12-P⋅5,5l1+RB⋅3,5l1=0
RB=-M+q⋅3,9l11,6l1+3,9l12+P⋅5,5l13,5l1=-12+1⋅3,9⋅0,41,6⋅0,4+3,9⋅0,42+2⋅5,5⋅0,43,5⋅0,4=-3,86 кН
MBi=0,
M-RA⋅3,5l1+q1,9l122-q2l122-P⋅2l1=0
RA=M+q1,9l122-q2l122-P⋅2l13,5l1=12+1⋅1,9⋅0,422-1⋅2⋅0,422-2⋅2⋅0,43,5⋅0,4=7,4 кН
Проверка
Pyi=0,
RA-q⋅3,9l1+RB-P=0
7,4-1⋅3,9⋅0,4-3,86-2=0;
0≡0.
2) Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок (0≤x1≤ 1,6l1)
Qy1=RA; Qy10=RA=7,4 кН; Qy11,6l1=RA=7,4 кН;
Mz1=RAx1-M; Mz10=-M=-12 кН; Mz11,6l1=RA⋅1,6l1-M=7,4⋅1,6⋅0,4-12=-7,26 кН⋅м;
2-й участок (0≤x2≤1,9l1)
Qy2=RA-qx2; Qy20=RA=7,4 кН; Qy21,9l1=RA-q⋅1,9l1=7,4-1⋅1,9⋅0,4=6,64 кН;
Mz2=RA1,6l1+x2-M-qx222; Mz20=RA⋅1,6l1-M=7,4⋅1,6⋅0,4-12=-7,26 кН⋅м; Mz21,9l1=RA⋅1,6l1-M-q1,9l122=7,4⋅1,6⋅0,4-12-1⋅1,9⋅0,422=-1,92 кН⋅м;
3-й участок (0≤x3≤2l1)
Qy3=P+qx3; Qy30=P=2 кН; Qy32l1=P+q⋅2l1=2+2⋅0,4=2,8 кН;
Mz3=-Px3-qx322; Mz30=0; Mz32l1=-P⋅2l1-q2l122=-2⋅0,4-1⋅2⋅0,422=-1,92 кН⋅м;
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (риссунок П2.1).
Составляем условие прочности.
σmax=MzWzmax≤σ, Mzmax=12 кН⋅м
Wz≥Mzmaxσ⋅n=12⋅103205⋅106⋅1,4=4,18⋅10-5 м3=41,8 см3
По справочным данным стали прокатной подбираем:
Двутавр № 12 (Wz=58,4 см3, Fд=11,5 см2).
Швеллер № 12 (Wz=50,6 см3, Fш=13,3 см2)
.
Подбираем размеры круга и прямоугольника.
Для круга:
Wz=πd332,
тогда
d=332Wzπ=332⋅41,8π=7,52 см
Площадь круга составит Fк=πd24=π⋅7,5224=44,41 см2,
Для прямоугольника Wz=bh26=b⋅1,4b26=0,327b3,
откуда
b=3Wz0,327=341,80,327=5,03 см
Определим площадь Fп=b⋅h=b⋅1,4b=5,03⋅1,4⋅5,03=35,42 см2
Из четырех сечений наиболее выгодным является двутавр № 12 (Wz=58,4 см3, Fд=11,5 см2), как обладающий наименьшей площадью.
Определяем углы поворота сечений и прогибы.
Запишем обобщенную функцию изгибающего момента Мz и подставим ее в примерное дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Mz=RAx-Mx0←1-qx-1,6l122←2+RBx-3,5l1-qx-3,5l122←3
d2ydx2=1EIzRAx-Mx0←1-qx-1,6l122←2+RBx-3,5l1-qx-3,5l122←3,
Последнее выражение проинтегрируем дважды без раскрытия скобок:
dydx=θ(x)=1EIzC+RAx22-Mx←1-qx-1,6l136←2+RBx-3,5l122-qx-3,5l136←3
y(x)=1EIzCx+D+RAx36-Mx22←1-qx-1,6l1424←2+RBx-3,5l136-qx-3,5l1424←3
Постоянные интегрирования C и D найдем из граничных условий:
при х = 0; у = 0 (шарнирно-неподвижная опора в начале 1-го участка)
Cx+D+RAx36-Mx22=0
C⋅0+D+RA⋅036-M⋅022=0
⇒ D=0
при х = 3,5l1; y= 0 (шарнирно-подвижная опора в конце 2-го или в начале 3-го участка)
C⋅3,5l1+0+RA(3,5l1)36-M(3,5l1)22-q(3,5l1-1,6l1)424
C=-4⋅RA3,5l13+12⋅M3,5l12+q3,5l1-1,6l1424⋅3,5l1=-4⋅7,4⋅3,5⋅0,43+12⋅12⋅3,5⋅0,42+1⋅3,5⋅0,4-1,6⋅0,4424⋅3,5⋅0,4=6
Для первого участка (0≤x≤1,6l1)
θ(x)=1EIzC+RAx22-Mx;θ0=6EIz;θ1,6l1=1EIz6+7,4⋅1,6⋅0,422-12⋅1,6⋅0,4=-0,16EIz
yx=1EIzCx+D+RAx36-Mx22;y0=0;y1,6l1=1EIz6⋅1,6⋅0,4+7,4⋅1,6⋅0,436-12⋅1,6⋅0,422=1,71EIz
Для второго участка (1,6l1≤x≤3,5l1)
θx=1EIzC+RAx22-Mx-qx-1,6l136;
θ1,6l1=1EIz6+7,41,6⋅0,422-121,6⋅0,4-1⋅1,6⋅0,4-1,6⋅0,436=-0,16EIz;
θ3,5l1=1EIz6+7,4⋅3,5⋅0,422-12⋅3,5⋅0,4-1⋅3,5⋅0,4-1,6⋅0,436=-3,62EIz
y(x)=1EIzCx+D+RAx36-Mx22-qx-1,6l1424
y1,6l1=1EIz6⋅1,6⋅0,4+0+7,4⋅1,6⋅0,436-12⋅1,6⋅0,422-11,6⋅0,4-1,6⋅0,4424=1,71EIz;
y3,5l1=1EIz6⋅3,5⋅0,4+0+7,4⋅(3,5⋅0,4)36-12⋅(3,5⋅0,4)22-1(3,5⋅0,4-1,6⋅0,4)424=0;
Для третьего участка (3,5l1≤x≤5,5l1)
θ(x)=1EIzC+RAx22-Mx-qx-1,6l136+RBx-3,5l122-qx-3,5l136
θ3,5l1=1EIz6+7,4⋅3,5⋅0,422-12⋅3,5⋅0,4-1⋅3,5⋅0,4-1,6⋅0,436+-3,86⋅3,5⋅0,4-3,5⋅0,422-1⋅3,5⋅0,4-3,5⋅0,436=-3,62EIz
θ5,5l1=1EIz6+7,4⋅5,5⋅0,422-12⋅5,5⋅0,4-1⋅5,5⋅0,4-1,6⋅0,436+-3,86⋅5,5⋅0,4-3,5⋅0,422-1⋅5,5⋅0,4-3,5⋅0,436=-4,45EIz
y(x)=Cx+D+RAx36-Mx22-qx-1,6l1424+RBx-3,5l136-qx-3,5l1424
y3,5l1=1EIz6+7,4⋅3,5⋅0,436-12⋅3,5⋅0,422-1⋅3,5⋅0,4-1,6⋅0,4424+-3,86⋅3,5⋅0,4-3,5⋅0,436-1⋅3,5⋅0,4-3,5⋅0,4424=0
y5,5l1=1EIz6+7,4⋅5,5⋅0,436-12⋅5,5⋅0,422-1⋅5,5⋅0,4-1,6⋅0,4424+-3,86⋅5,5⋅0,4-3,5⋅0,436-1⋅5,5⋅0,4-3,5⋅0,4424=-10,5EIz
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 3