Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии на и на по данным

В нижней итоговой строке таблицы напротив каждого значения признака X проставляется соответствующая ему частота nx, равная сумме всех частот столбца и указывающая, сколько раз всего наблюдалось данное значение x. Аналогично, в последнем итоговом столбце напротив каждого значения признака Y записывают соответствующую ему частоту ny, равную сумме всех частот по строке и указывающую, сколько раз всего наблюдалось данное значение y. Очевидно, что суммы всех частот для nx и для ny должны быть равны между собой и равны объему выборки.
inx=jny=ijnxy=50.
Объем выборки n=50 проставляется в последней клетке таблицы.
Найдем условные средние по формулам
, .
yx=5=100⋅2+120⋅35=112;
yx=10=100⋅1+120⋅45=116;
yx=15=120⋅3+140∙58=132,5;
yx=20=140⋅10+160∙111=141,818;
yx=25=140⋅88=140;
yx=30=160⋅66=160;
yx=35=160⋅1+180∙45=176;
yx=40=160⋅1+180∙12=170.
xy=100=5⋅2+10∙13=6,667;
xy=120=5⋅3+10∙4+115∙310=10;
xy=140=15⋅5+20∙10+25∙823=20,652;
xy=160=20⋅1+30∙6+35∙1+40∙19=30,556;
xy=180=35⋅4+40∙15=36.
Для построения уравнений необходимо знать коэффициент линейной корреляции r=xy-x⋅yσx⋅σy.
Для нахождения r вычислим указанные общие средние: x, y, xy, а также квадратические отклонения σx и σy.
Таблица 2
x
nx
x⋅nx
x2⋅nx
yx
x⋅nx⋅yxi
5 5 25 125 112 2800
10 5 50 500 116 5800
15 8 120 1800 132,5 15900
20 11 220 4400 141,818 31200
25 8 200 5000 140 28000
30 6 180 5400 160 28800
35 5 175 6125 176 30800
40 2 80 3200 170 13600
50 1050 26550
156900
Таблица 3
y
ny
y⋅ny
y2⋅ny
xy
y⋅ny⋅xyj
100 3 300 30000 6,667 2000
120 10 1200 144000 10 12000
140 23 3220 450800 20,652 66500
160 9 1440 230400 30,556 44000
180 5 900 162000 36 32400
50 7060 1017200
156900,0
Контроль: y⋅ny⋅xyj=y⋅ny⋅xyj=156900.
С помощью таблиц 2 и 3 находим общие средние, средние квадратов, среднюю произведения и средние квадратические отклонения:
x=x⋅nxn=105050=21;
x2=x2⋅nxn=2655050=531;
xy=x⋅nx⋅yxn=15690050=3138;
y=y⋅nyn=706050=141,2;
y2=y2⋅nyn=101720050=20344;
σx=x2-x2=531-212≈9,487;
σy=y2-y2=20344-141,22≈20,163.
Отсюда коэффициент корреляции равен:
r=xy-x⋅yσx⋅σy=3138-21⋅141,29,487⋅20,163=0,903.
Так как r>0, то связь прямая, то есть с ростом x растет и y.
Находим линейное уравнение регрессии Y по X: yx-y=rσyσx(x-x).
yx-141,2=0,903∙20,1639,487(x-21);
yx-141,2=1,92∙(x-21);
yx=1,92x+100,88.
Аналогично находим линейное уравнение регрессии X по Y:
xy-x=rσxσy(y-y).
xy-21=0,903∙9,48720,163(y-141,2);
xy-21=0,425∙(y-141,2);
xy=0,425y-38,99.