Найти стационарное распределение температуры внутри прямоугольной тонкой пластинки

Пусть длина сторон прямоугольной пластины a и b, а поток тепла подается через сторону y=b. Для распределения температуры u(x,y) в прямоугольнике x,y=0,a×0,b имеем краевую задачу:
∆u≡uxx+uyy=0, 0<x<a, 0<y<b,
(1)
u(0,y)=u0, u(a,y)=u0,
(2)
ux,0=u0, uyx,b=qk.
(3)
где k − коэффициент теплопроводности.
Представим искомую функцию в виде
ux,y=vx,y+u0.
Тогда для функции vx,y получим краевую задачу
vxx+vyy=0, 0<x<a, 0<y<b,
(4)
v(0,y)=0, v(a,y)=0,
(5)
vx,0=0, vyx,b=qk.
(6)
Для решения задачи (4) − (6) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
vx,y=XxYy.
Подставим в исходное уравнение (4)
X''xYy+XxY''y=0.
Разделим это равенство на XxYy
X''xXx+Y''yYy=0,
X''xXx=-Y''yYy=-λ=const,
т.к . левая часть равенства зависит только от x, а правая – только от y.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных уравнения
X''x+λXx=0,
Y''y-λYy=0.
Подставляя ux,y в виде XxYy в однородные граничные условия (5), получим
X0Yy=0, X(a)Yy=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X(a)=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''x+λXx=0X0=0, Xa=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλ x+C2sinλ x.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0, Xa=C2 sinλa=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλa=0
λa=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πna2, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xnx=sinπnxa, n=1,2,…
Уравнение для функции Y(y) примет вид
Yn''y-πna2Yny=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Yny=Anchπnya+Bnshπnya.
Решение vx,y задачи (4) − (6) представим в виде ряда
vx,y=n=1∞XnxYn(y)=n=1∞Anchπnya+Bnshπnyasinπnxa.
vy=n=1∞πnaAnshπnya+Bnchπnyasinπnxa.
Коэффициенты An, Bn этого ряда найдем из граничных условий (6)
vx,0=n=1∞Ansinπnxa=0,
vyx,b=n=1∞πnaAnshπnba+Bnchπnbasinπnxa=qk.
В силу полноты системы собственных функций sinπnxan=1∞ из первого равенства следует
An=0, n=1,2,…
из второго равенства имеем
n=1∞Bnπnachπnbasinπnxa=qk
Следовательно, коэффициенты πnaBnchπnba будут коэффициентами разложения функции qk в ряд Фурье по системе функций sinπnxan=1∞
Bnπnachπnba=qk,Xn(x)Xn2=2a0aqksinπnxadx
Bn=2qkπn chπnba0asinπnxadx=2qkπn chπnba-aπncosπnxa0a=
=-2qacosπn-1kπ2n2 chπnba=-2qa-1n-1kπ2n2 chπnba.
Таким образом, решение задачи (4) − (6) будет
vx,y=-n=1∞2qa-1n-1kπ2n2 chπnbashπnyasinπnxa.
Учитывая, что
-1n-1=0, если n=2m-четное, -2, если n=2m+1-нечетное,
Функцию vx,y можно записать в виде
vx,y=4qakπ2m=0∞shπ(2m+1)ya(2m+1)2 chπ(2m+1)basinπ(2m+1)xa.
Решение исходной задачи (1) − (3) будет
ux,y=u0+4qakπ2m=0∞shπ(2m+1)ya(2m+1)2 chπ(2m+1)basinπ(2m+1)xa.
Ответ:
ux,y=u0+4qakπ2m=0∞shπ(2m+1)ya(2m+1)2 chπ(2m+1)basinπ(2m+1)xa.