Найти расстояние r от Солнца на котором сила светового давления на сферические частицы кварцевой пыли диаметром D превысит силу их гравитационного притяжения к Солнцу (начиная с этого расстояния у кометы вырастает заметный хвост)

Известно, что сила светового давления на частицу, как и гравитационная сила, обе одинаково зависят от расстояния (1/r2), поэтому нет такого конкретного расстояния, на котором эти силы уравновешены. Возможность равновесия определяется размером частицы (в данном случае диаметром D), так как сила светового давления , а гравитационная . При определённом эти силы сравниваются и при световая сила превышает гравитационную и частица удаляется от Солнца (и от кометы), образуя хвост I типа (пылевой). (есть и хвосты других типов см. Википедия)
Этот хвост у кометы образуется при приближении к Солнцу за счёт испарения и др . процессов, при которых образуются частицы малого диаметра (пыль). Конкретное расстояние появления хвоста зависит от свойств кометы и в рамках этой задачи его определить невозможно.
Поэтому определяем предельный диаметр кварцевой частицы, меньше которого она будет удаляться под действием светового давления и образовывать хвост кометы.
Частица сферическая с диаметром D, тогда её объём , а масса ( - плотность вещества частицы).
Сила притяжения к Солнцу определяется законом всемирного тяготения
(1)
В этой формуле:
m – масса частицы, М – масса Солнца;
r – расстояние между ними,
G = 6.67∙10-11Н∙м2/кг2 – гравитационная постоянная.
Сила тяготения уравновешивается силой светового давления.
Сила давления определяется диаметральным сечением частицы πD2/4
Давление света р, падающего на поверхность, выражается формулой:
(2)
Здесь:
I – интенсивность (плотность энергетического потока) падающего света,
с – скорость света в вакууме,
- коэффициент отражения света от поверхности.
Если умножить давление на площадь диаметрального сечения, получим силу светового давления
(3)
S – площадь поперечного сечения частицы (сферы)
Интенсивность светового излучения известна вблизи Земли (за пределами атмосферы) Это, так называемая, солнечная постоянная: Вт/м2
Составим уравнения равновесия давление – притяжения для этой величины.
При этом - среднее расстояние от Земли до Солнца,
кг – масса Солнца.
Уравнение будет выполнено и для других расстояний, так как интенсивность излучения и сила притяжения обе одинаково зависят от расстояния ()
Итак:
Из последнего уравнения получаем расчётную формулу
(4)
Проверка размерности

Вычисление
м мкм
Ответ:
пылевой хвост у кометы образуется на таком расстоянии от Солнца, при котором диаметр образуемых кремниевых частиц меньше 0,7 мкм