Найти приближённое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по другому
Найти приближённое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности

Найти приближённое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти приближённое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности ∂u∂t=0.25∂2u∂x2+5, 0<x<1, 0≤t≤0.05u0,t=0,u1,t=1, 0≤t≤0.05 ux,0=x3, 0≤x≤1 Используя явную разностную схему. Взять h=b-a10=0.1, шаг τ выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближённого решения от x при τ=0, 2τ, 4τ,…0.05.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Разностная схема устойчива, если
τ≤h22=0.122=0.005
Введём регулярную сетку:
tn=nτ=0.005n, n=0, 1, 2,…, 10
xm=mh=0.1m, m=0, 1, 2,…, 10
umn=uxm, tn
Получаем следующую разностную схему:
umn+1-umnτ=0.25um-1n-2umn+um+1nh2+5
При этом
u0n=0, n=0, 1, 2,…, 10
u10n=1, n=0, 1, 2,…, 10
um0=0.1m3,m=0, 1, 2,…, 10
Тогда решение в следующий момент времени tn+1
umn+1=umn+0.25τh2um-1n-2umn+um+1n+5τ
Сведём вычисления в таблицу (значения в заштрихованных клетках определяются начально-краевыми условиями):
umn
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m x\t 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0,1 0,001 0,0268 0,0494 0,0697 0,0881 0,1052 0,1211 0,1360 0,1501 0,1636 0,1765
2 0,2 0,008 0,0345 0,0610 0,0871 0,1126 0,1375 0,1616 0,1851 0,2079 0,2301 0,2517
3 0,3 0,027 0,0543 0,0815 0,1088 0,1360 0,1630 0,1900 0,2167 0,2431 0,2693 0,2952
4 0,4 0,064 0,0920 0,1200 0,1480 0,1760 0,2040 0,2320 0,2599 0,2878 0,3156 0,3433
5 0,5 0,125 0,1538 0,1825 0,2113 0,2400 0,2688 0,2975 0,3262 0,3550 0,3837 0,4123
6 0,6 0,216 0,2455 0,2750 0,3045 0,3340 0,3635 0,3930 0,4224 0,4517 0,4810 0,5101
7 0,7 0,343 0,3733 0,4035 0,4338 0,4639 0,4940 0,5238 0,5534 0,5826 0,6114 0,6399
8 0,8 0,512 0,5430 0,5740 0,6045 0,6342 0,6631 0,6910 0,7181 0,7443 0,7697 0,7943
9 0,9 0,729 0,7608 0,7884 0,8131 0,8354 0,8558 0,8747 0,8924 0,9091 0,9249 0,9398
10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Строим графики в различные моменты времени:

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу