Найти поперечные колебания струны, один конец x=l которой жестко закреплен, а другой x=0 свободен. Начальное отклонение равно Al-xl. Начальная скорость совпадает с собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля при n=7.
Ответ
ux,t=2l13aπsin13aπt2lcos13πx2l+8Aπ2n=1∞12n-12cosaπ(2n-1)t2lcosπ2n-1x2l.
Решение
Поперечные отклонения струны ux,t описываются одномерным волновым уравнением
utt=a2uxx, 0<x<l, t>0,
(1)
где a2=T/ρ, T − натяжение струны, ρ − линейная плотность струны.
Левый край свободен, а правый закреплен, следовательно, имеем граничные условия
ux0,t=0, ul,t=0.
(2)
Начальные условия
ux,0=Al-xl, utx,0=X7(x).
(3)
где X7(x) − собственная функция задачи Штурма-Лиувилля при n=7.
Для решения начально-краевой задачи (1) – (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное частное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T''t=a2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T''(t)a2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''(x)+λXx=0,
T''t+a2λTt=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
ux0,t=X'0⋅Tt=0, ul,t=Xl⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X'0=0, Xl=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X'0=0, Xl=0
Для решение этого однородного уравнения, определим корни характеристического уравнения
μ2+λ=0, μ1,2=±iλ
Общее решение уравнения имеет вид
Xx=C1eiλx+C2e-iλx ,
Удобнее фундаментальную систему решений взять в виде
cosλx=eiλx+e-iλx2, sinλx=eiλx-e-iλx2i
и решение записать как
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=-λC1sinλx+λC2 cosλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X'0=λC2=0 ⇒ C2=0Xl=C1cosλl=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
cosλl=0,
λl=π2+πn=π(2n-1)2, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=π2n-12l2, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=cosπ2n-1x2l, n=1,2,…
Соотношение ортогональности для собственных функций
Xnx,Xmx=0lcosπ2n-1x2lcosπ2m-1x2ldx=0, при m≠nl2, при m=n
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn''(t)+aπ(2n-1)2l2Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ancosaπ(2n-1)t2l+Bnsinaπ(2n-1)t2l.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде ряда
ux,t=n=1∞TntXnx=
=n=1∞Ancosaπ(2n-1)t2l+Bnsinaπ(2n-1)t2lcosπ1+2nx2l,
utx,t=n=1∞aπ(2n-1)2l-Ansinaπ(2n-1)t2l+Bncosaπ(2n-1)t2lcosπ2n-1x2l.
Коэффициенты An, Bn этого ряда найдем из начальных условий (3)
ux,0=n=1∞An cosπ2n-1x2l=Al-xl.
utx,0=n=1∞aπ(2n-1)2lBn cosπ2n-1x2l=X7(x)=cos13πx2l.
Учитывая полноту системы собственных функций cosπ2n-1x2ln=1∞, из второго равенства следует, что
13aπ2lB7=1, aπ2n-12lBn=0, при n≠7
B7=2l13aπ, Bn=0, n≠7.
Из первого равенства следует, что коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции Al-xl в ряд Фурье по собственным функциям, тогда
An=Al-xl,XnxXn2=2l0lAl-xlcosπ2n-1x2ldx=
=4Aπ2n-1l0ll-xdsinπ2n-1x2l=
=4Aπ2n-1ll-xsinπ2n-1x2l0l=0+0lsinπ2n-1x2ldx=
=-8Aπ22n-12 cosπ2n-1x2l0l=8Aπ22n-12.
Таким образом, решение исходной начально-краевой задачи имеет вид
ux,t=2l13aπsin13aπt2lcos13πx2l+n=1∞8Aπ22n-12cosaπ(2n-1)t2lcosπ2n-1x2l.
Ответ:
ux,t=2l13aπsin13aπt2lcos13πx2l+8Aπ2n=1∞12n-12cosaπ(2n-1)t2lcosπ2n-1x2l.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
