Найти Математическое ожидание и дисперсию случайных величин ξ и η

Распределение двумерной случайной величины (,) задано таблицей.
-3 -1 1 3 ∑
-2 0,01 0,12 0,15 0,04 0,32
0 0,02 0,03 0,13 0,11 0,29
3 0,21 0,02 0,14 0,02 0,39
∑ 0,24 0,17 0,42 0,17  
Частные распределения случайных величин и :
i
-2 0 3
pi
0,32 0,29 0,39
i
-3 -1 1 3
pi
0,24 0,17 0,42 0,17
1. Находим числовые характеристики:
- математические ожидания:
M=iipi=-2∙0,32+0∙0,29+3∙0,39=0,53
M=iipi=-3∙0,24+…+3∙0,17=0,04
- дисперсии:
D=ii2pi-M2=-22∙0,32+02∙0,29+32∙0,39-0,532=4,5091
D=ii2pi-M2=-32∙0,24+…+32∙0,17-0,042=4,2784
2 . По таблице совместного распределения находим математическое ожидание произведения компонент:
Mξη=iiξiηjpi,j=-2∙-3∙0,01+...+3∙3∙0,02=-1,59
Тогда ковариация равна:
cov,η=Mη-M)M(η=-1,59-0,53∙0,04=-1,6112
Коэффициент корреляции:
rη=cov,ηDDη=-1,61124,5091∙4,2784≈-0,3668
Абсолютная величина 0,3<rη<0,5 коэффициента корреляции говорит об умеренной линейной зависимости между величинами, а знак «-» об обратном ее характере.
3. Находим числовые характеристики случайных величин ζ1 и ζ2:
ζ1
-20 -12 -4 4 12 15 23 31 39
pi
0,01 0,14 0,18 0,17 0,11 0,21 0,02 0,14 0,02
- математические ожидания:
Mζ1=M3+4=M3+4M=
=-23∙0,32+03∙0,29+33∙0,39+4∙0,04=8,13
Mζ2=M-2=M-2M=0,53-2∙0,04=0,45
- дисперсии (для ζ1 вычисляем по таблице распределения):
Dζ1=iζ1i2pi-Mζ12=-202∙0,01+…+392∙0,02-8,132=202,2931
Dζ2=D-2=D+4D-2∙2cov,η=
=4,5091+4∙4,2784-4∙-1,6112=28,0675
Находим математическое ожидание произведения:
Mζ1ζ2=M3+4-2=M4-2M3+4M-8M2
Имеем:
M4=-24∙0,32+04∙0,29+34∙0,39=36,71
M3=iiξi3ηjpi,j=-23∙-3∙0,01+...+33∙3∙0,02=-13,11
Тогда:
Mζ1ζ2=36,71-2∙-13,11+4∙-1,59-8∙4,28=22,33
Тогда ковариация равна:
covζ1ζ2=Mζ1ζ2-Mζ1)M(ζ2=22,33-8,13∙0,45=18,6715
Коэффициент корреляции:
rη=covζ1ζ2Dζ1Dζ2=18,6715202,2931∙28,0675≈0,2478
4