Найти все частные производные 1-го порядка

Совместную плотность двумерного распределения fx, y
Границами области являются прямые, найдем уравнения прямых.
Прямая, проходящая через точки 0;0 и -2;0: y=0.
Прямая, проходящая через точки -2;0 и 0;-1
x+2-2+0=y-00+1
-2y=x+2
Прямая, проходящая через точки 0;-1 и 0;0: x=0.
Таким образом, уравнения границ области
y=0-2y=x+2x=0
Способ 1
Совместная плотность распределения
fx, y=c, -1≤y≤0, -2y-2≤x≤0,0, иначе.
Неизвестную константу c определим, использовав условие нормировки плотности вероятности
-∞∞-∞∞fx,ydxdy=-10-2y-20cdxdy=c-102y+2dy=2c-10y+1dy=2cy22-10+y-10=2c-12+1=c=1 ⟹c=1
Совместная плотность распределения имеет вид
fx, y=1, -1≤y≤0, -2y-2≤x≤0,0, иначе.
Способ 2
Совместная плотность распределения
fx, y=1S, -1≤y≤0, -2y-2≤x≤0,0, иначе.
S=12∙1∙2=1 – площадь прямоугольного треугольника.
Совместная плотность распределения имеет вид
fx, y=1, -1≤y≤0, -2y-2≤x≤0,0, иначе.
одномерные (маргинальные) плотности f1x и f2y и функции распределения F1x и F2y, нарисовать графики всех полученных функций
Найдем плотность распределения X. Используем формулу
f1x=-∞∞fx,ydy
Если x≤-2, то fx,y=0, следовательно f1x=0.
Если -2<x≤0, тогда
f1x=-x2-10dy=y-x2-10=x2+1
Если x>0, то fx,y=0, следовательно f1x=0.
Плотность распределения X имеет вид
f1x=0, при x≤-2x2+1, при-2< x≤00, при x>0
Найдем функция распределения X . Используем формулу
F1x=-∞xf1tdt
Если -∞<x≤-2, то f1x=0, следовательно,
F1x=-∞x0dt=0
Если -2<x≤0, то
F1x=-∞-20dt+-2xt2+1dt=t24+t-2x=x24+x-1+2=x24+x+1
Если 0<x<+∞, то
F1x=-∞-20dx+-20t2+1dt+0x0dt=t24+t-20=-1+2=1
Функция распределения X имеет вид
F1x=0, при x≤-2x24+x+1, при-2< x≤01, при x>0
Найдем плотность распределения Y. Используем формулу
f2y=-∞∞fx,ydx
Если y≤-1, то fx,y=0, следовательно f2y=0.
Если -1<y≤0, тогда
f2y=-2y-20dx=x-2y-20=2y+2
Если y>0, то fx,y=0, следовательно f2y=0.
Плотность распределения Y имеет вид
f2y=0, при y≤-12y+2, при-1< y≤00, при y>0
Найдем функция распределения Y. Используем формулу
F2y=-∞yftdt
Если -∞<y≤-1, то fy=0, следовательно,
F2y=-∞y0dt=0
Если -1<y≤0, то
F2y=-∞-10dt+-1y2t+2dt=2t22+2t-1y=y2+2y-1+2=y2+2y+1
Если 0<y<+∞, то
F2y=-∞-10dt+-102t+2dt+0y0dt=2t22+2t-10=-1+2=1
Функция распределения Y имеет вид
F2y=0, при y≤-1y2+2y+1, при-1< y≤01, при y>0
ковариацию CovX,Y и коэффициент корреляции ρXY