Найти решение уравнения теплопроводности с ненулевыми граничными условиями методом Фурье

Имеем следующую задачу:
∂u∂t=a2∂2u∂x2,0<x<4,t>0
u0,t=12,u4,t=2,ux,0=1-x2
Решение задачи представим суммой функций ux,t=u1x,t+u2x,t, где функция u1x,t=12-2,5x отвечает заданным граничным условиям. Тогда для функции u2x,t с учетом того, что ∂u1∂t=∂2u1∂x2=0,u1x,0=12-2,5x получаем следующую задачу с однородными граничными условиями:
∂u∂t=a2∂2u∂x2,0<x<4,t>0
u0,t=0,u4,t=0,ux,0=2,5x-11-x2
Согласно методу Фурье решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,t=X(x)T(t)
Подставляем в уравнение:
XxT't=a2X''(x)T(t)
X''xX(x)=T'ta2T(t)
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа:
X''xX(x)=T'ta2T(t)=λ=const
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T't=a2λT(t)
Граничные условия для u=X(x)T(t) дают: X0Tt=0,X4Tt=0 . Значит X0=X4=0. Т.е. нам требуется найти ненулевые решения уравнения
X''x-λXx=0; X0=X4=0
Уравнение – линейное уравнение с постоянными коэффициентами, его характеристическое уравнение:
k2-λ=0
Рассматриваем возможные случаи:
А) λ=0
Тогда k1,2=0 и общее решение уравнения Xx=c1x+c2
Условиям X0=X4=0 удовлетворяет только c1=c2=0, т.е. имеем только нулевые решения, поэтому λ=0 отбрасываем
Б) λ>0
Тогда k1,2=±λ и общее решение уравнения Xx=c1eλx+c2e-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X4=0:
c1+c2=0c1e3λ+c2e-4λ=0
Получаем опять же c1=c2=0, поэтому λ>0 отбрасываем.
В) λ<0
Тогда k1,2=±i-λ и общее решение уравнения
Xx=c1cos⁡(-λx)+c2sin⁡(-λx)
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X4=0:
c1cos0+c2sin0=0c1cos4-λ+c2sin4-λ=0 c1=0c2sin4-λ=0
Тогда:
c2sin4-λ=0 4-λ=πn λ=-π2n216,n=1,2,…
Т.е