Логотип Автор24реферат
Задать вопрос
%
уникальность
не проверялась
Решение задач на тему:

Найти решение уравнения теплопроводности с ненулевыми граничными условиями методом Фурье

уникальность
не проверялась
Аа
3040 символов
Категория
Электроника, электротехника, радиотехника
Решение задач
Найти решение уравнения теплопроводности с ненулевыми граничными условиями методом Фурье .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти решение уравнения теплопроводности с ненулевыми граничными условиями методом Фурье. Найти распределение температуры u=u(x,t) в сечении x по длине стержня длиной L в моменты времени t, удовлетворяющее уравнению ∂u∂t=a2∂2u∂x2 с граничными условиями u0,t=b,uL,t=c и начальному условию ux;0=fx. b c fx 2 4 12 2 1-x2

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть
Имеем следующую задачу:
∂u∂t=a2∂2u∂x2,0<x<4,t>0
u0,t=12,u4,t=2,ux,0=1-x2
Решение задачи представим суммой функций ux,t=u1x,t+u2x,t, где функция u1x,t=12-2,5x отвечает заданным граничным условиям. Тогда для функции u2x,t с учетом того, что ∂u1∂t=∂2u1∂x2=0,u1x,0=12-2,5x получаем следующую задачу с однородными граничными условиями:
∂u∂t=a2∂2u∂x2,0<x<4,t>0
u0,t=0,u4,t=0,ux,0=2,5x-11-x2
Согласно методу Фурье решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,t=X(x)T(t)
Подставляем в уравнение:
XxT't=a2X''(x)T(t)
X''xX(x)=T'ta2T(t)
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа:
X''xX(x)=T'ta2T(t)=λ=const
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T't=a2λT(t)
Граничные условия для u=X(x)T(t) дают: X0Tt=0,X4Tt=0 . Значит X0=X4=0. Т.е. нам требуется найти ненулевые решения уравнения
X''x-λXx=0; X0=X4=0
Уравнение – линейное уравнение с постоянными коэффициентами, его характеристическое уравнение:
k2-λ=0
Рассматриваем возможные случаи:
А) λ=0
Тогда k1,2=0 и общее решение уравнения Xx=c1x+c2
Условиям X0=X4=0 удовлетворяет только c1=c2=0, т.е. имеем только нулевые решения, поэтому λ=0 отбрасываем
Б) λ>0
Тогда k1,2=±λ и общее решение уравнения Xx=c1eλx+c2e-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X4=0:
c1+c2=0c1e3λ+c2e-4λ=0
Получаем опять же c1=c2=0, поэтому λ>0 отбрасываем.
В) λ<0
Тогда k1,2=±i-λ и общее решение уравнения
Xx=c1cos⁡(-λx)+c2sin⁡(-λx)
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X4=0:
c1cos0+c2sin0=0c1cos4-λ+c2sin4-λ=0 c1=0c2sin4-λ=0
Тогда:
c2sin4-λ=0 4-λ=πn λ=-π2n216,n=1,2,…
Т.е
50% задачи недоступно для прочтения
Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение
Получить задачу
Больше решений задач по электронике, электротехнике, радиотехнике:

Электрическую цепь схема которой изображена на рис 1 1

2696 символов
Электроника, электротехника, радиотехника
Решение задач

Для диода Д312 при изменении Uпр на 0 35 В прямой ток IПР увеличивается от 3,5

320 символов
Электроника, электротехника, радиотехника
Решение задач

Выбор пускателя для управления асинхронным двигателем

3925 символов
Электроника, электротехника, радиотехника
Решение задач
Все Решенные задачи по электронике, электротехнике, радиотехнике
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты