Найти a и коэффициент корреляции двумерной случайной величины (X

Значение коэффициента a найдем, исходя из того, что:
D fx,ydxdy=1
D f(x,y)dxdy=a03e3xdx02e2ydy=a203e3xe2y30dx=a203e3x(e4-1)dx=
=ae4-16e3x30=ae4-1e9-16
ae4-1e9-16=1 => a=6e4-1e9-1
fx,y=6e3xe2ye4-1e9-1, 0≤x≤3, 0≤y≤2
Найдем одномерные плотности:
fx=02fx,ydy=6e3xe4-1e9-102e2ydy=3e3xe4-1e9-1e2y20=3e3xe9-1
fy=03fx,ydx=6e2ye4-1e9-103e3ydy=2e2ye4-1e9-1e3x30=2e2ye4-1
Найдем математические ожидания:
MX=03xfxdx=3e9-103xe3xdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=e3xdx
du=dx v=13e3x
=1e9-1xe3x∙30-1e9-103e3xdx=3e9e9-1-13(e9-1)e3x30=
=3e9e9-1-e9-13(e9-1)=8e9+13(e9-1)≈2,667
MY=02yfydy=2e4-102ye2ydy=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=y dv=e2ydy
du=dy v=12e2y
=1e4-1ye2y20-1e4-102e2ydy=2e4e4-1-12(e4-1)e2y20=3e4+12(e4-1)≈1,537
Найдем дисперсии:
DX=03x2fxdx-(MX)2=3e9-103x2e3xdx-(MX)2=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x2 dv=e3xdx
du=2xdx v=13e3x
=1e9-1x2e3x30-2e9-103xe3xdx-(MX)2=9e9e9-1-2e9-103xe3xdx-(MX)2=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u=x dv=e3xdx
du=dx v=13e3x
=9e9e9-1-23(e9-1)xe3x30+23(e9-1)03e3xdx-(MX)2=
=9e9e9-1-2e9e9-1+29e9-1e3x30-(MX)2=7e9e9-1+2e9-19e9-1-(MX)2=
=65e9-19e9-1-8e9+13e9-12=65e9-1e9-1-(8e9+1)29e9-12=
=65e18-66e9+1-64e18-16e9-19e9-12=e18-82e99e9-12
σX=Dx=e18-82e99e9-12≈0,332
DY=02y2fydy-(MY)2=2e4-102y2e2ydy-(MY)2=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=y2 dv=e2ydy
du=2ydy v=12e2y
=1e4-1y2e2y20-2e4-102ye2ydy-(MY)2=4e4e4-1-2e4-102ye2ydy-(MY)2=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u=y dv=e2ydy
du=dy v=12e2y
=4e4e4-1-1e4-1ye2y20+1e4-102e2ydy-(MY)2=
=4e4e4-1-2e4e4-1+12e4-1e2y20-(MY)2=2e4e4-1+e4-12e4-1-(MY)2=
=5e4-12e4-1-3e4+12(e4-1)2=25e4-1e4-1-(3e4+1)24e4-12=
=10e8-12e4+2-9e8-6e4-14e4-12=e8-18e4+14e4-12
σY=Dy=e8-18e4+14e4-12≈0,417
MXY=03dx02xyf(x,y)dxdy=6e4-1e9-103dx02xye3xe3y≈4,1
Найдем ковариацию:
covX,Y=MXY-MX∙MY=4,1-2,667∙1,537≈0
r=cov(X,Y)σX∙σY=0