Найдите полную поверхность конуса. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по другому
Найдите полную поверхность конуса

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найдите полную поверхность конуса, вписанного в шар радиуса R, если образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом а. Дано: Конус вписан в шар AS-образующая конуса ОВ=R; ∠SAB=α Найти: Sполн.поверхности конуса

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.
Sполн.поверхности конуса=Sбок+Sосн;
Sбок=πrl, где r-рдиус основния конус;l-образующая;
Sосн=Sкруга=πr2
Тогда
Sполн.поверхности конуса=πrl+πr2
Рассмотрим осевое сечение конуса.
Sполн.поверхности конуса=πrl+πr2=πrl+r=π∙AH∙(AS+AH) (*)
Рассмотрим треугольникASH(прямоугольный)
cosα=AHAS;
AH=AS∙cosα; AH=HB=r
AB=2AH=2AS∙cosα
SASB=AS∙SB∙AB4R, где R-описанной окружности⇒4R∙SASB=AS∙SB∙AB;
4R∙SASB=AS2∙AB ,так как AS=SB(как образующие конус)
С другой стороны, площадь треугольника можно найти по формуле:
SASB=12∙AS∙SB∙sinASB=12∙AS2∙sin180°-α-α=
=12∙AS2∙sin180°-2α=12∙AS2∙sin2α, так как
sin180°-2α=sin2α(это формула приведения)
Получили:
4R∙SASB=AS2∙AB 1
SASB=12∙AS2∙sin2α (2)
AB=2AS∙cosα (3)
Подставим в (1) выражение(2), (3)
4R∙12∙AS2∙sin2α=AS2∙2AS∙cosα;
Упростим выражение.
2R∙AS2∙sin2α=AS3∙2∙cosα
R=AS3∙2∙cosα2∙AS2∙sin2α=AS∙cosαsin2α=AS∙cosα2cosα∙sinα=AS2∙sinα→
R=AS2∙sinα→AS=2Rsinα
Подставляем все найденные выражения в формулу (*) и получаем:
Sполн.поверхности конуса=π∙AH∙AS+AH=π∙AS∙cosαAS+AS∙cosα=
=π∙AS∙cosα∙AS∙1+cosα=π∙2Rsinα∙cosα∙2Rsinα∙1+cosα=
=4πR2sin2α∙cosα∙(1+cosα)
Ответ:S=4πR2sin2α∙cosα∙(1+cosα)

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу