Найденные размеры округлить до стандартных.
5. Для опасного сечения построить эпюру нормальных напряжений, изобразив его рядом с сечением.
Нагрузки и геометрические размеры
№ вар. P, кН T, кН∙м q, кН/м a, м [σ], МПа
9 1,5qa
0,5qa2
0,1 0,2 100
Решение
Выбор осей координат
Ось z направим вдоль продольной оси балки, а ось y направим вертикально вверх.
1. Определение опорных реакций
P=1,5qa=1,5∙0,1∙0,2=0,03 кН
T=0,5qa2=0,5∙0,1∙0,22=0,002 кН∙м
Запишем условия равновесия балки для определения реакций, возникающих в опорах B и E (обозначим их как YB, ZB и YE соответственно):
MB=0: -T-2∙q∙2∙a22-P∙3∙a+YE∙(4∙a)=0→
→YE=T+2∙q∙2∙a22+P∙3∙a 4∙a
YE=0,5qa2+2∙q∙2∙a22+1,5qa∙3∙a 4∙a=2,25∙qa=0,045 кН
- положительный знак говорит о том, что выбранное направление реакции совпадает с действительным направлением.
Fy=0: YB-2∙q∙2∙a-P+YE=0→YB=2∙q∙2∙a+P-YE
YB=2∙q∙2∙a+1,5qa-2,25∙qa=3,25∙qa=0,065 кН
- положительное значение реакции говорит о том, что выбранное направление совпадает с действительным направлением реакции.
Fz=0:ZB=0 кН
Проверка (определим сумму моментов всех сил относительно точки B):
MA=0: -T+YB∙a-2∙q∙2∙a∙2∙a-P∙4∙a+YE∙(5∙a)=0
-0,5qa2+3,25∙qa∙a-2∙q∙2∙a∙2∙a-1,5qa∙4∙a+2,25∙qa∙(5∙
∙a)=0
Реакции определены правильно!
2
. Составим аналитические выражения и построим эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx
Для построения эпюр Mx и Qy воспользуемся методом сечения. Мысленно последовательно разрежем балку на каждом из 4-х участков и рассмотрим условия равновесия каждой из частей в отдельности.
Участок №1 (от точки A до точки B):
Проведем сечение 1-1 на расстоянии z1 от точки А. Рассмотрим равновесие части балки слева от сечения. Действие отсеченной правой части балки заменим неизвестными пока усилиями Q1(z1) и M1(z1) .
Fy=0: 0-Qy1(z1)=0→Qy1(z1)=0=const
Mk1=0: -T+Mx1(z1)=0→Mx1(z1)=T=0,5qa2=0,002 кН∙м
Участок №2 (от точки B до точки C):
Fy=0: YB-(2∙q)∙z2-Qy2(z2)=0→Qy2(z2)=YB-(2∙q)∙z2
Qy2z2=3,25∙qa-(2∙q)∙z2
Qy2z2=0=YB=3,25∙qa=0,065 кН
Qy2z2=2a=YB-2∙q∙2∙a=3,25∙qa-4qa=-0,75∙qa
Qy2z2=2a=-0,015 кН
На участке №2 наблюдается экстремум в точке:
Mx2'(zx)=Qy2z2=0→YB-2∙q∙z2=0→z2extr=YB2∙q=3,25∙qa2∙q
z2extr=1,625∙a=1,625∙0,2=0,325 м
Mk2=0: -T-YB∙z2+(2∙q)∙z222+Mx2(z2)=0→
Mx2z2=T+YB∙z2-2∙q∙z222=0,5qa2+3,25∙qa∙z2-2∙q∙z222
Mx2z2=0=0,5qa2=0,002 кН∙м
Mx2z2=2a=0,5qa2+3,25∙qa∙2a-2∙q∙(2a)22=3∙qa2=0,012 кН∙м
Mx2z2extr=1,625∙a=1,256∙10-2 кН∙м
Участок №3 (от точки E до точки D):
Fy=0: YE+Qy3z3=0→Qy3z3=-YE=-2,25∙qa=-0,045 кН=const
Mk3=0: YE∙z3-Mx3z3=0→Mx3z3=2,25∙qa∙z3
Mx3z3=0=0 кН∙м
Mx3z3=a=2,25∙qa∙a=0,009 кН∙м
Участок №4 (от точки D до точки C):
Fy=0: YE-P+Qy4z4=0→Qy4z4=P-YE=-0,75∙qa=-0,015 кН=const
Mk4=0: YE∙z4+a-P∙z4-Mx4z4=0→
Mx4z4=YE∙z4+a-P∙z4=YE∙a+z4∙YE-P=2,25∙qa2+z4∙0,75∙qa
Mx4z4=0=2,25∙qa2=0,009 кН∙м
Mx4z4=a=2,25∙qa2+a∙0,75∙qa=3∙qa2=0,012 кН∙м
3
на новый заказ в Автор24.
