Напряженное состояние и теории прочности

Определение вида напряженного состояния
Запишем величины нормальных и касательных напряжений в координатных осях X, Y и Z:
Рисунок 4. SEQ Рисунок \* ARABIC 2
σx=250 МПа (растягивающее напряжение);
σy=-150 МПа (сжимающее напряжение);
σz=0;
τxy=τyx=120 МПа;
τyz=τzx=0 МПа (главная площадка).
Вывод: исследуемое напряженное состояние является плоским (двухосным).
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ (АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД)
σ1,2=σx+σy2±σx-σy22+τxy2,
σ1=250-1502+250+15022+1202=283,2 МПа;σ2=250-1502-250+15022+1202=-183,2 МПа;
σ3=0.
Вычислим углы наклона нормалей к главным площадкам:
tgα1=τxyσ1-σy=120283,2+150=0,277; α1≃15,4°;
tgα2=τyxσ2-σy=120-183+150=-3,64, α2≃-74,6°.
Проверка: условия правильности вычислений:
σ1+σ2=σx+σy,
283,2-183,2=250-150
100≡100.
и
α1+α2=90°,
15,4°+74,6°=90°.
Вычисления выполнены верно, т.к. сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках является const и главные оси напряженного состояния взаимно-перпендикулярны (Σ𝛼=90°).
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ.
Наибольшее касательные напряжения действуют на площадках с углами наклона ±45° к главным площадкам . Величина наибольших касательных напряжений:
τmax=σ1-σ22=283,2+183,22=233,2 МПаНормальные напряжения на этих площадках:
σ'=σ1+σ22=283,2-183,22=50 МПа. Положения этих площадок показано на рис.3.4.5.:
Рисунок 4. SEQ Рисунок \* ARABIC 4 Площадки с max касательными напряжениями
4. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И УГЛОВ НАКЛОНА ПЛОЩАДОК
Строим круг напряжений (круг Мора), рис.4.5, для чего:
По горизонтальной оси отложим в масштабе μσ отрезки ОВ=σx и OD=σy (с учетом знаков);
Поделим отрезок BD и получим центр С круга;
Из точки В отложим отрезок ВК⊥ОВ, равный в масштабе μσ величине τxy ,получим полюс К круга напряжений;
Проведем окружность (круг Мора) радиусом СК и обозначим точки её пересечения с осью σ (точки А и Е);
Проведем лучи КЕ и КА, которые и являются нормалями к главным площадкам (оси 1 и 2);
Замерим отрезки ОА и ОЕ и определим величины главных напряжений:
σ1=ОЕ·μσ;
σ2=ОА·μσ.
Замерим углы α1 и α2 между горизонтольной осью σ и осями 1 и 2;
Сравним результаты графического и аналитического определений и определим отключения: Δσ1, Δσ2,Δα1,Δα2,Δτmax.
Радиус круга Мора представляет напряжение τmax=CK·μσ
Результаты графического определения:
σ1*=ОA·μσ=140·2=280 МПа;
σ2*=ОE·μσ=-90·2=-180 МПа;
τmax*=CK·μτ=115·2=230 МПа;
α1*≃15°;
α2*≃75° (замерены по чертежу).
Погрешности определения: (≤ 4%)
Δσ1=283,2-280283,2·100=1,14%,
Δσ2=183,2-180183,2·100=1,74%,
Δα1=15,4-1515,4·100=2,6%
Δα2=74,6-7574,6·100=0,5%
Рисунок 4