Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины 2a заряжен равномерно зарядом q

Разобьем стержень на участки dl, имеющие заряд dq. Из симметрии задачи ясно, что суммарная напряженность поля, созданного электрическими зарядами dq, будет направлена вдоль оси OY. Следовательно, достаточно найти проекцию dEy поля от элемента dl  с зарядом dq  и провести интегрирование по всей длине стержня (см.рис).
В этом случае:
dEr=dE∙cosα=14πε0∙q∙dl2a·R2∙cosα . (1)
Сведем это уравнение функции в вид удобный для интеграции. На рисунке показано, что dl∙cosα=R∙dα и R=rcosα.
Вследствие этого:
dEr=14πε0∙q∙R∙dα2a·R2=q4πε0∙cosα∙dα2a·r=q8πε0ar∙cosα∙dα. (2)
Это выражение может быть легко проинтегрировано:
Er=q8πε0ar∙0α0cosα∙dα=q8πε0ar∙2sinα0=q∙sinα0πε0ar; (3)
α0-максимальное значение угла α :
sinα0=aa2+r2