На рисунке 11 9 показана электрическая цепь в которой

Для первой гармоники k=1
XL1=k∙ωL=1∙314∙0,0318=10 Ом
XC1=1kωC=1061∙314∙31,8=100 Ом
Для третьей гармоники k=3
XL3=k∙ωL=3∙314∙0,0318=30 Ом
XC3=1kωC=1063∙314∙31,8=33,3 Ом
Определим полное сопротивление цепи (рисунок 11.9) для каждой составляющей несинусоидального тока.
Для постоянной составляющей:
XC=12πfC=12π∙0∙C=∞
Поэтому постоянная составляющая напряжения U0 тока не создает.
Полное сопротивление цепи для первой гармоники:
Z1=R2+ωL-1ωC2=12+314∙0,0318-106314∙31,82=90 Ом
для третьей и пятой:
Z3=R2+3ωL-13ωC2=12+3∙314∙0,0318-1063∙314∙31,82=3,4 Ом
Z5=R2+5ωL-15ωC2=12+5∙314∙0,0318-1065∙314∙31,82=29,9 Ом
3. Действующие значения несинусоидального тока и напряжения . Активная мощность.
Если задано уравнение несинусоидального напряжения и определены сопротивления, то по закону Ома можно определить амплитуды гармоник тока:
I1m=U1mZ1=10090=1,1 А;
I3m=U3mZ3=1003,4=29 А;
I5m=U5mZ5=10029,9=3,3 А;
Действующее значение любой гармоники тока равно амплитудному значению этой гармоники, деленному на 2:
I1=I1m2=1,12=0,8 А;
I3=I3m2=292=20,5 А;
I5=I5m2=3,32=2,4 А;
Зная действующие значения токов, можно подсчитать и активные мощности:
P1=I12R=0,82∙1=0,6 Вт
P3=I32R=20,52∙1=420,5 Вт
P5=I52R=2,42∙1=5,6 Вт
Токи I1, I3, I5 – являются составляющими общего несинусоидального тока в цепи. Выведем формулу действующего значения несинусоидального тока I.
Активная мощность несинусоидального тока P=Рг,
Эта же мощность равна сумме активных мощностей отдельных гармоник:
P=P1+P3+P5=I12R+I32R+I52R=0,6+420,5+5,6=426,7 Вт
Приравнивая правые части полученных равенств, получим
I2R=I12R+I32R+I52R
Отсюда действующее значение несинусоидального тока в цепи:
I=I12+I32+I52=0,82+20,52+2,42=20,7 А
При наличии постоянной составляющей I0 и других гармоник:
I=I02+I12+I32+I42+I52+⋯+In2
По аналогичной формуле определяется действующее значение приложенного несинусоидального напряжения:
U=U02+U12+U32+U42+U52+⋯+Un2
U=U12+U32+U52=10022+10022+10022=70,72+70,72+70,7=122,5 В
Активная мощность цепи при несинусоидальном токе в общем виде выражается формулой:
P=U0I0+U1I1cosφ1+U2I2cosφ2+U3I3cosφ3+⋯
P=U1I1cosφ1+U3I3cosφ3+U5I5cosφ5=70,7∙0,8cos-89,4°+70,7∙20,5cos-73,1°+70,7∙2,4cos88,1°=426,7 Вт
где φ1, φ3, φ5 – углы сдвига фаз между одноименными гармониками тока и напряжения:
φ1=arctgXL1-XC1R=arctgωL-1ωCR=arctg314∙0,0318-106314∙31,81=-89,4°
φ3=arctgXL3-XC3R=arctg3ωL-13ωCR=arctg3∙314∙0,0318-1063∙314∙31,81=-73,1°
φ5=arctgXL5-XC5R=arctg5ωL-15ωCR=arctg5∙314∙0,0318-1065∙314∙31,81=88,1°
В сложных электрических цепях при расчете гармоник тока обычно пользуются символическим методом, в котором все необходимые электротехнические величины изображаются комплексными числами.