На рис. 3.2 приведена система заряженных коаксиальных длинных цилиндров

По теореме Гаусса поток напряженности E электрического поля через замкнутую поверхность с величиной заряда q внутри этой поверхности, равен
EdS=E∙S=qε0
где ε0=8,85 ∙10-12Фм-электрическая постоянная
Пусть этой поверхностью будет цилиндрический контур радиусом r,
Тогда площадь этой поверхности S=2πrl
E∙2πrl=qε0, откуда E=q2πrlε0
Внутри цилиндра радиусом 0<r<R1, зарядов нет, поэтому q=0,
тогда E1=0
Внутри цилиндра радиусом R1<r<R2, находится заряд q1=τ1l, тогда E2=τ12πrε0
E2=10-8 Клм2∙3,14∙8,85∙10-12Фм∙r=180r Вм
Внутри цилиндра радиусом R2<r<R3 находятся заряды q1и q2 , тогда E3=q1+q22πrlε0=τ1+τ22πrε0
E3=10-8Клм-1∙10-8Клм2∙3,14∙8,85∙10-12Фм∙r=0 Вм
Внутри цилиндра радиусов R3<r<R4 находятся заряды q1, q2 и q3 , тогда E4=q1+q2+q32πrlε0=τ1+τ2+τ32πrε0
E4=10-8Клм-1∙10-8Клм+02∙3,14∙8,85∙10-12Фм∙r=0 Вм
Внутри цилиндра рдиусом R4<r, находятся заряды q1, q2, q3и q4, тогда E5=q1+q2+q3+q44πrlε0=τ1+τ2+τ3+τ42πrε0
E5=10-8Клм-1∙10-8Клм+0+10-8Клм4∙3,14∙8,85∙10-12Фм∙r=180r Вм
Таблица 3.2.
х, м
x<R1
R1<x<R2
R2<x<R3
R3<x<R4
R4<x
0 0,17
0,17 0,22 0,27 0,27 0,32 0,37 0,37 0,42 0,47 0,47 0,6
E, В/м 0 0 1059 818 667 0 0 0 0 0 0 383 300
График зависимости напряженности поля от расстояния
По определению потенциал равен dφ=-Edr,
14dφ=-0R1E1dr+R1R2E2dr+R2R3E3dr+R3R4E4dr
∆φ1-4=-[0R10dr+R1R2τ14πxε0dr+R2R3τ1+τ22πxε0dr+
+R3R4τ1+τ2+τ32πxε0dr]
∆φ1-4=-τ12πε0R1R2drr+τ1+τ22πε0R2R3drr+τ1+τ2+τ32πε0R3R4drr=-τ12πε0lnR2R1+τ1+τ22πε0lnR3R2+τ1+τ2+τ32πε0lnR4R3=
=-12πε0[τ1lnR2R1+(τ1+τ2)lnR3R2+τ1+τ2+τ3lnR4R3]
∆φ1-4=-12∙3,14∙8,85∙10-12Фм10-8Клмln0,27м0,17м+10-8Клм-1∙10-8Клм∙ln0,37м0,27м+10-8Клм-1∙10-8Клм+0∙ln0,47м0,37м=-83.2 В
Ответ: Er=0, 0<r<R1180r, R1<r<R2 0, R2<r<R30, R3<r<R4180r, R4<r ; 2) ∆φ1-4=-83.2 В