Модуль 8 1 Um=140 B L1=25 5 мГн № кривой 6 № схемы 6 R2=45 Ом

Записать уравнение для мгновенного значения напряжения в виде ряда Фурье до шестой гармонической включительно.
ω=2∙π∙f=2∙3,14∙50=314 (рад/сек)
uωt=2∙Umπ-4∙Um3∙π∙cos2ωt-4∙Um15∙π∙cos4ωt-4∙Um35∙π∙cos6ωt
uωt=2∙1403,14-4∙1403∙3,14∙cos2∙314∙t-4∙14015∙3,14∙cos4∙314∙t-
-4∙14035∙3,14∙cos6∙314∙t
uωt=89,2-59,5∙cos628∙t-11,9∙cos1 256∙t-5,1∙cos1 884∙t
Рассчитать цепь, определив действующие значения токов и напряжений всех ветвей цепи.
Определяем сопротивления цепи для постоянной составляющей
Z1(0)=R1=4 Ом
Z2(0)=R2=45 Ом
Z3(0)=∞
Zцепи(0)=Z1(0)+Z2(0)=4+45=49 Ом
Находим сопротивления цепи для второй гармоники
Z1(2)=R1=4 Ом
Z2(2)=R2+jXL2=R2+j2ω∙L2=45+j628∙31,8∙10-3=45+j20 (Ом)
Z3(2)=R3-jXС=R3-j12ω∙С=30-j1628∙177∙10-6=30-j9 (Ом)
Zцепи(2)=Z1(2)+Z2(2)∙Z3(2)Z2(2)+Z3(2)=4+45+j20∙(30-j9)45+j20+(30-j9)=24,34-j0,39
Для четвёртой гармоники
Z1(4)=R1=4 Ом
Z2(4)=R2+jXL2=R2+j4ω∙L2=45+j1 256∙31,8∙10-3=45+j40 (Ом)
Z3(4)=R3-jXС=R3-j14ω∙С=30-j11 256∙177∙10-6=30-j4,5 (Ом)
Zцепи(4)=Z1(4)+Z2(4)∙Z3(4)Z2(4)+Z3(4)=4+45+j40∙(30-j4,5)45+j40+(30-j4,5)=25,8+j3
Для шестой гармоники
Z1(6)=R1=4 Ом
Z2(6)=R2+jXL2=R2+j6ω∙L2=45+j1 884∙31,8∙10-3=45+j60 (Ом)
Z3(6)=R3-jXС=R3-j16ω∙С=30-j11 884∙177∙10-6=30-j3 (Ом)
Zцепи(6)=Z1(6)+Z2(6)∙Z3(6)Z2(6)+Z3(6)=4+45+j60∙(30-j3)45+j60+(30-j3)=27,62+j4,24
Выполним расчёт токов и напряжений .
Постоянная составляющая и комплексные действующие значения гармоник входного напряжения:
uωt=89,2-59,5∙cos628∙t-11,9∙cos1 256∙t-5,1∙cos1 884∙t
U0=89,2 B
U2=59,52=42,07 B
U4=11,92=8,4 B
U6=5,12=3,6 B
Постоянная составляющая входного тока I1 :
I1(0)=U0Zцепи(0)=89,2 49=1,82 A
его вторая, четвёртая и шестая гармоники в комплексной форме:
I1(2)=U2Zцепи(2)=42,07 24,34-j0,39=1,73+j0,027=1,73∙ej∙1° A
I1(4)=U4Zцепи(4)=8,4 25,8+j3=0,321-j0,037 =0,323∙e-j∙6,6° A
I1(6)=U6Zцепи(6)=3,6 27,62+j4,24=0,127-j0,02=0,129∙e-j∙8,7° A
Постоянная составляющая напряжения на разветвлённом участке цепи, его вторая, четвёртая и шестая гармоники:
U23(0)=I1(0)∙Z2(0)=1,82∙45=81,9 B
U232=I12∙Z232=1,73+j0,027∙45+j20∙30-j945+j20+30-j9=35,16-j0,11=
=35,16∙e-j∙0,2° B
U234=I14∙Z234=0,321-j0,037∙45+j40∙30-j4,545+j40+30-j4,5=7,115+j0,148=
=7,116∙ej∙1,2° B
U23(6)=I1(6)∙Z23(6)=0,127-j0,02∙45+j60∙30-j345+j60+30-j3=3,091+j0,078=
=3,092∙ej∙1,5° B
Постоянная составляющая напряжения на неразветвлённом участке цепи, его вторая, четвёртая и шестая гармоники:
U1(0)=I1(0)∙R1=1,82∙4=7,3 B
U1(2)=I1(2)∙R1=1,73+j0,027∙4=6.91+j0.11=6,91∙ej∙1° B
U1(4)=I1(4)∙R1=(0,321-j0,037)∙4=1.285-j0.148 =1,3∙e-j∙6,6° B
U1(6)=I1(6)∙R1=(0,127-j0,02)∙4=0.509-j0.078 =0,52∙e-j∙8,7° B
Постоянная составляющая токов второй и третьей ветви, их вторая, четвёртая и шестая гармоники:
I2(0)=U23(0)Z2(0)=81,9 45=1,82 A=I1(0)
I3(0)=0
I2(2)=U23(2)Z2(2)=35,16-j0,11 45+j20=0.65-j0.292=0,714∙e-j∙24,1° A
I3(2)=U23(2)Z3(2)=35,16-j0,11 30-j9=1.08+j0.319=1,123∙ej∙16,5° A
I2(4)=U23(4)Z2(4)=7,115+j0,148 45+j40=0.09-j0.077 =0,118∙e-j∙40,4° A
I3(4)=U23(4)Z3(4)=7,115+j0,148 30-j4,5=0.231+j0.04=0,235∙ej∙9,7° A
I2(6)=U23(6)Z2(6)=3,091+j0,078 45+j60=0.026-j0.032=0,041∙e-j∙51,6° A
I3(6)=U23(6)Z3(6)=3,091+j0,078 30-j3=0.102+j0.013=0,103∙ej∙7,2° A
Действующие значения токов цепи:
I1=I102+I122+I142+I162=
=1,822+1,732+0,3232+0,1292=2,535 А
I2=I202+I222+I242+I262=
=1,822+0,7142+0,1182+0,0412=1,96 А
I3=I302+I322+I342+I362=
=02+1,1232+0,2352+0,1032=1,15 А
Действующие значения напряжений цепи:
U=U02+U22+U42+U62=
=89,2 2+42,072+8,42+3,62=99,05 В
U1=U102+U122+U142+U162=
=7,32+6,912+1,32+0,522=10,15 В
U23=U2302+U2322+U2342+U2362=
=81,92+35,162+7,1162+3,0922=89,47 В
Определить мгновенное значение тока в виде ряда Фурье в неразветвленной части цели.
i1ωt=1,82-2∙1,73∙cos2ωt+1°-2∙0,323∙cos4ωt-6,6°-
-2∙0,129∙cos6ωt-8,7°
i1ωt=1,82-2,45∙cos628t+1°-0,457∙cos1 256-6,6°-
-0,182∙cos1884-8,7°
Определить активную мощность цепи.
P=U0∙I1(0)+U2∙I1(2)∙cosφ2+U4∙I1(4)∙cosφ4+U6∙I1(6)∙cosφ6
Где φ2 , φ4 , φ6 - угол сдвига фаз между током и напряжением соответствующей гармоники
P=89,2 ∙1,82+42,07∙1,73∙cos1°+8,4∙0,323∙cos6,6°+3,6∙0,129∙cos8,7°
P=238,28 Вт
Построить кривые приложенного напряжения и тока в неразветвленной части цепи как суммы гармонических составляющих.
uωt=89,2-59,5∙cos628∙t-11,9∙cos1 256∙t-5,1∙cos1 884∙t
i1ωt=1,82-2,45∙cos628t+1°-0,457∙cos1 256-6,6°-
-0,182∙cos1884-8,7°