Моделирование цепного процесса
Дан граф состояний системы. Вероятности переходов между состояниями системы на каждом шаге приведены в таблице, указано также и начальное состояние системы.
Вариант p12
p21
p13
p31
p32
p23
Начальное состояние
27 0,3 0,25 0,2 0,6 0,2 0,2 E3
Таблица случайных чисел:
0,837 0,953 0,787 0,608 0,136 0,880 0,364 0,206
0,665 0,188 0,118 0,440 0,086 0,305 0,454 0,386
0,524 0,273 0,996 0,032 0,851 0,922 0,416 0,091
Требуется выполнить следующие задания:
1. Составить матрицу переходов системы за один шаг.
2. Моделировать 24 шага переходов системы с помощью таблицы случайных чисел.
3. Вычислить относительные частоты каждого состояния системы за 24 шага перехода плюс исходное состояние.
4. Вычислить вероятности каждого состояния системы за 5 шагов, начиная с заданного.
5. Вычислить предельные вероятности системы.
6. Выполнить сравнения:
а) при правильном расчете распределения вероятностей пункта 4 должны стремиться к предельным;
б) относительные частоты состояния должны не слишком отличаться от предельных (при большом числе шагов – стремятся к предельным).
Решение
Записываем матрицу переходов (диагональные элементы матрицы получаем из условия нормировки – сумма вероятностей по строке равняется единице):
A=0,50,30,20,250,550,20,60,20,2
Моделируем 24 шага переходов системы с помощью таблицы случайных чисел:
Шаг №
1 2 3 4 5 6 7 8
Состояние E3
E3
E3
E2
E2
E1
E3
E1
E1
Сл. число 0,837 0,953 0,787 0,608 0,136 0,880 0,364 0,206 0,665
Шаг № 9 10 11 12 13 14 15 16
Состояние E2
E1
E1
E1
E1
E1
E1
E1
Сл. число 0,188 0,118 0,440 0,086 0,305 0,454 0,386 0,524
Шаг № 17 18 19 20 21 22 23 24
Состояние E2
E2
E3
E1
E3
E3
E1
E1
Сл. число 0,273 0,996 0,032 0,851 0,922 0,416 0,091
Вычисляем количество шагов пребывания системы в каждом из своих состояний и соответствующие относительные частоты:
Состояние Число шагов в состоянии Относительная частота
E1
13 0,52
E2
5 0,20
E3
7 0,28
Вычислим вероятности каждого состояния системы за 5 шагов, начиная с начального состояния E3:
- после первого шага:
P11=p31=0,6
P21=p32=0,2
P31=p33=0,2
- после второго шага:
P12=p11P11+p21P21+p31P31=0,5∙0,6+0,25∙0,2+0,6∙0,2=0,47
P22=p12P11+p22P21+p32P31=0,3∙0,6+0,55∙0,2+0,2∙0,2=0,33
P32=p13P11+p23P21+p33P31=0,2∙0,6+0,2∙0,2+0,2∙0,2=0,2
- после третьего шага:
P13=p11P12+p21P22+p31P32=
=0,5∙0,47+0,25∙0,33+0,6∙0,2=0,4375
P23=p12P12+p22P22+p32P32=
=0,3∙0,47+0,55∙0,33+0,2∙0,2=0,3625
P33=p13P12+p23P22+p33P32=
=0,2∙0,47+0,2∙0,33+0,2∙0,2=0,2
- после четвертого шага:
P14=p11P13+p21P23+p31P33=
=0,5∙0,4375+0,25∙0,3625+0,6∙0,2=0,429375
P24=p12P13+p22P23+p32P33=
=0,3∙0,4375+0,55∙0,3625+0,2∙0,2=0,370625
P34=p13P13+p23P23+p33P33=
=0,2∙0,4375+0,2∙0,3625+0,2∙0,2=0,2
- после пятого шага:
P15=p11P14+p21P24+p31P34=
=0,5∙0,429375+0,25∙0,370625+0,6∙0,2≈0,427344
P25=p12P14+p22P24+p32P34=
=0,3∙0,429375+0,55∙0,370625+0,2∙0,2=0,372656
P35=p13P14+p23P24+p33P34=
=0,2∙0,429375+0,2∙0,370625+0,2∙0,2=0,2
Записываем систему уравнения для отыскания предельных вероятностей состояний (коэффициенты в правой части есть транспонированная матрица переходов) и дополняем ее нормировочным уравнением:
P1=0,5P1+0,25P2+0,6P3P2=0,3P1+0,55P2+0,2P3P3=0,2P1+0,2P2+0,2P3P1+P2+P3=1
Учитывая нормировочное уравнение, из третьего уравнения сразу получаем:
P3=0,2
Тогда, подставляя в первые два уравнения:
P1=0,5P1+0,25P2+0,12P2=0,3P1+0,55P2+0,04
Или:
0,5P1-0,25P2=0,12-0,3P1+0,45P2=0,04 P1≈0,426667P2≈0,373333
Получили следующие предельные вероятности состояний системы:
P=0,426667;0,373333;0,2
Сравнивая с результатами вычислений вероятностей состояний системы за 5 шагов, начиная с исходного, отмечаем, что чем больше шагов, тем ближе вероятности пребывания системы в своих состояниях к предельным вероятностям состояний.
Сравнивая же относительные частоты каждого состояния системы за 24 моделируемых шагов системы, отмечаем некоторый «перекос» относительных частот первого и третьего состояния за счет второго состояния, что обусловлено небольшим числом шагов.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
