Методом наложения определить ток в резисторе R6

1) Выбирем положительные направления токов в ветвях цепи.
В исходной схеме (рисунок 1) заданы направления токов в ветвях цепи, далее будем отталкиваться от этих направлений.
2) Найдём частичные токи в ветвях, вызванные каждым источником по отдельности (схему рассчитываем девять раз, т.к. столько источников действует в схеме – шесть ЭДС и три источника тока).
2.1) Рассмотрим источник тока под номером один (J1).
Исключим все источники, кроме источника тока под номером один (J1), пользуясь правилом исключения источников (рисунок 2). Обозначим частичные токи от источника тока под номером один индексами J1 – I1(J1), I2(J1) и т.д.
Рисунок 2 – Исходная схема с источником тока под номером один
Упростим схему, чтобы ветвь с искомым частичным током (I6(J1)) не была трансформирована.
Как видно по рисунку 2 резисторы три, четыре и пять, а также резисторы один, два и три образуют треугольники, для упрощения схемы необходимо выполнить преобразование треугольник-звезда (1):
(1)
Преобразуем треугольник из сопротивлений один, два и три в звезду (рисунок 3).
Рисунок 3 – Исходная схема со звездой с источником тока под номером один
Таким образом, сопротивления на схеме:
Выполним остальные преобразования, опираясь на правила последовательного и параллельного соединения резисторов (рисунок 4).
Рисунок 4 – Преобразованная исходная схема с источником тока под номером один
Эквивалентное сопротивление:
Из рисунка 4 видно, что имеются две параллельные ветви с сопротивлениями R6 и Rэкв(J1), для определения тока в ветви с сопротивлением R6 можно воспользоваться формулой разброса токов для двух параллельных ветвей:
Таким образом, частичной ток от источника тока под номером один был найден.
2.2) Рассмотрим источник тока под номером два (J2).
Исключим все источники, кроме источника тока под номером два (J2), пользуясь правилом исключения источников (рисунок 5). Обозначим частичные токи от источника тока под номером два индексами J2 – I1(J2), I2(J2) и т.д.
Рисунок 5 – Исходная схема с источником тока под номером два
Упростим схему, чтобы ветвь с искомым частичным током (I6(J2)) не была трансформирована.
Как видно по рисунку 5 резисторы три, четыре и пять, а также резисторы один, два и три образуют треугольники, для упрощения схемы необходимо выполнить преобразование треугольник-звезда (1).
Преобразуем треугольник из сопротивлений три, четыре и пять в звезду (рисунок 6).
Рисунок 6 – Исходная схема со звездой с источником тока под номером два
Таким образом, сопротивления на схеме:
Выполним изменения в схеме до более удобной формы, пользуясь правилами последовательного и параллельного соединения резисторов. (рисунок 7).
Рисунок 7 – Преобразованная исходная схема c источником тока под номером два
Найдем эквивалентное сопротивление между c и d:
Найдем эквивалентный резистор из сопротивлений 34 и cd:
Найдем общее сопротивление:
Найдем напряжение между точками a и b:
Найдем ток через резистор 34:
Найдем напряжение между точками c и d:
Найдем искомый частичный ток:
Таким образом, частичной ток от источника тока под номером два был найден.
2.3) Рассмотрим источник тока под номером три (J3).
Исключим все источники, кроме источника тока под номером три (J3), пользуясь правилом исключения источников (рисунок 8) . Обозначим частичные токи от источника тока под номером три индексами J3 – I1(J3), I2(J3) и т.д.
Рисунок 8 – Исходная схема с источником тока под номером три
Упростим схему, чтобы ветвь с искомым частичным током (I6(J3)) не была трансформирована.
Как видно по рисунку 8 резисторы один, три и четыре образуют звезду, для упрощения схемы необходимо выполнить преобразование звезда-треугольник (2):
(2)
Преобразуем звезду из сопротивлений один, три и четыре в треугольник (рисунок 9).
Рисунок 9 – Исходная схема с треугольником с источником тока под номером три
Таким образом, сопротивления на схеме:
Выполним изменения в схеме до более удобной формы, пользуясь правилами последовательного и параллельного соединения резисторов (рисунок 10).
Рисунок 10 – Преобразованная исходная схема с источником тока под номером три
Сопротивления 435 и 312:
Найдем эквивалентный резистор из сопротивлений между c и d:
Найдем эквивалентный резистор из сопротивлений 435 и cd:
Найдем общее сопротивление:
Найдем напряжение между точками a и b:
Найдем ток через резистор 435:
Найдем напряжение между точками b и c:
Найдем искомый частичный ток:
Таким образом, частичной ток от источника тока под номером три был найден.
2.4) Рассмотрим ЭДС под номером один (E1).
Исключим все источники, кроме ЭДС под номером один (E1), пользуясь правилом исключения источников (рисунок 11). Обозначим частичные токи от ЭДС под номером один индексами E1 – I1(E1), I2(E1) и т.д.
Рисунок 11 – Исходная схема с ЭДС под номером один
Упростим схему, чтобы ветвь с искомым частичным током (I6(E1)) не была трансформирована.
Как видно по рисунку 11 резисторы два, три и пять образуют звезду, для упрощения схемы необходимо выполнить преобразование звезда-треугольник (2).
Преобразуем звезду из сопротивлений два, три и пять в треугольник (рисунок 12).
Рисунок 12 – Исходная схема с треугольником с ЭДС под номером один
Таким образом, сопротивления на схеме:
Выполним изменения в схеме до более удобной формы, пользуясь правилами последовательного и параллельного соединения резисторов (рисунок 13).
Рисунок 13 – Преобразованная исходная схема с ЭДС под номером один
Сопротивление 435:
Найдем эквивалентный резистор между c и d:
Найдем эквивалентный резистор из сопротивлений 435 и cd:
Найдем общее сопротивление между точками a и b:
Найдем общее сопротивление:
Найдем ток I1(E1):
Найдем напряжение между точками a и b:
Найдем ток I435(E1):
Найдем искомый частичный ток по формуле разброса:
Таким образом, частичной ток от ЭДС под номером один был найден.
2.5) Рассмотрим ЭДС под номером два (E2).
Исключим все источники, кроме ЭДС под номером два (E2), пользуясь правилом исключения источников (рисунок 14). Обозначим частичные токи от ЭДС под номером два индексами E2 – I1(E2), I2(E2) и т.д.
Рисунок 14 – Исходная схема с ЭДС под номером два
Упростим схему, чтобы ветвь с искомым частичным током (I6(E2)) не была трансформирована.
Как видно по рисунку 14 резисторы один, три и четыре образуют звезду, для упрощения схемы необходимо выполнить преобразование звезда-треугольник (2).
Преобразуем звезду из сопротивлений один, три и четыре в треугольник (рисунок 15).
Рисунок 15 – Исходная схема с треугольником с ЭДС под номером два
Таким образом, сопротивления на схеме:
Выполним изменения в схеме до более удобной формы, пользуясь правилами последовательного и параллельного соединения резисторов (рисунок 16).
Рисунок 16 – Преобразованная исходная схема с ЭДС под номером два
Сопротивление 345:
Найдем эквивалентный резистор между c и d:
Найдем эквивалентный резистор из сопротивлений 345 и cd:
Найдем общее сопротивление между точками a и b:
Найдем общее сопротивление:
Найдем ток I2(E2):
Найдем напряжение между точками a и b:
Найдем ток I345(E2):
Найдем искомый частичный ток по формуле разброса:
Таким образом, частичной ток от ЭДС под номером два был найден.
2.6) Рассмотрим ЭДС под номером три (E3).
Исключим все источники, кроме ЭДС под номером три (E3), пользуясь правилом исключения источников (рисунок 17)