Методом комплексных амплитуд рассчитать мгновенные значения ЭДС источника

1. Составим комплексную схему замещения. Обозначим на схему токи и узлы.
Рис.2. Расчетная схема
1. Комплексная амплитуда входного напряжения при его заданном аналитическом выражении вида e(t)=44sin200t в показательной форме запишется как
Em=44ej0° B
Определяем комплексные сопротивления элементов
Z1=R1=4 Ом
Z3=jωL=j∙200∙40∙10-3=j8=8ej90° Ом
где из заданного аналитического выражения e(t)=44sin200t для входного напряжения, следует, что ω=200 рад/с.
Z4=-j1ωC4=-j1200∙500∙10-6=-j10=10e-j90° Ом
Z5=-j1ωC5=-j1200∙500∙10-6=-j10=10e-j90° Ом
Общее комплексное сопротивление всей цепи составит
Z=Z1+Z4+Z5∙Z3Z4+Z5+Z3=4+-j10-j10∙8ej90°-j10-j10+j8=4+20e-j90°∙8ej90°-j20+j8=4+16012e-j90°=4+13,333ej90°=4+j13,333=13,92ej73,3° Ом
2. Комплексная амплитуда тока источника по закону Ома
Im1=EmZ=44ej0°13,92ej73,3°=3,161e-j73,3°=0,908-j3,028 A
Комплексная амплитуда напряжения между узлами a и b составит
Uab=Im1·Z4+Z5∙Z3Z4+Z5+Z3=3,161e-j73,3°·13,333ej90°=42,146ej16,7°=40,368+j12,111 B
Комплексная амплитуда тока второй ветви, содержащей С4 и С5
Im2=UabZ4+Z5=42,146ej16,7°20e-j90°=2,107ej106,7°=-0,605+j2,018 А
Комплексная амплитуда тока третьей ветви, содержащей L3
Im3=UabZ3=42,146ej16,7°8ej90°=5,268e-j73,3°=1,514-j5,046 А
3 . Комплексные амплитуды напряжений на элементах цепи составят:
UmR=Im1·R=3,161e-j73,3°·4=12,644e-j73,3°=3,633-j12,111 B
UmL=Im3·Z3=5,268e-j73,3°·8ej90°=42,144ej16,7°=40,366+j12,111 B
UmC4=Im2·Z4=2,107ej106,7°·10e-j90°=21,07ej16,7°=20,181+j6,055 B
UmC5=Im2·Z5=2,107ej106,7°·10e-j90°=21,07ej16,7°=20,181+j6,055 B
4. Определяем мощности
активная мощность приемника
PR=12R∙Im12=12∙4∙3,1612=19,984 Вт
суммарная активная мощность приемников
Pпр=PR=19,984 Вт
реактивная мощность индуктивного элемента
QL=12XL∙Im32=12∙8∙5,2682=111,007 BAp
реактивная мощность емкостных элементов
QC=QC4+QC4=12Xc4∙Im22+12Xc5∙Im22=12∙Im22 Xc4+Xc5=12∙2,1072 10+10=44,394 BAp
суммарная реактивная мощность приемников
Qпр=QL-QC=111,007-44,394=66,613 BAp
Тогда в комплексном виде комплексная мощность приемников запишется как
Sпр=Pпр+jQпр=19,984+j66,613 BA
Комплексная мощность источника
Sист=12∙Em∙Im1*=12∙44∙0,908+j3,028=19,976+j66,616 BA
где Im1* - комплексно-сопряженное значение тока источника
Таким образом, получили, что Sист≈Sпр, т.е.
19,984+j66,613 BA≈19,976+j66,616 BA
С незначительной погрешностью от округлений промежуточных расчетов баланс выполняется.
5