Методом контурных токов определить действующие I и мгновенные i значения токов в ветвях электрической цепи переменного тока с частотой f=50 Гц (рис

Представим источники ЭДС в комплексной форме:
E3=E3m2=5022=50 В
E5=E5m2=502ejπ22=50ej90°=j50 В
E8=25 В
U=50 В
В схеме четыре узла (у=4) и шесть ветвей с неизвестными токами (в=6). Число независимых контуров в-у-1=3. Записываем по методу контурных токов систему из 3-х уравнений:
I11Z5+Z7+Z10-I22Z5=-E5+U-I11Z5+I22Z3+Z5+Z8-I33Z8=E8-I22Z8+I33Z8=-E3+E5-E8
Подставляем в полученную систему исходные данные:
I113+j4+3+j4+6+j8-I223+j4=-j50+50-I113+j4+I223-j4+3+j4+3+j4-I333+j4=25-I223+j4+I333+j4=-50+j50-25
I1112+j16-I223+j4=50-j50-I113+j4+I229+j4-I333+j4=25-I223+j4+I333+j4=-75+j50
Решаем полученную систему в ПО Mathcad матричным методом:
Получаем следующие значения контурных токов в ветвях цепи:
I11=-2,551-j2,105 А
I22=-8,206+j5,58 А
I33=-9,206+j23,58 А
Определяем действующие значения токов:
I1=I11=-2,551-j2,105=3,308e-j140,476° А
I2=-I33=--9,206+j23,58=9,206-j23,58=25,313e-j68,674° А
I3=I22=-8,206+j5,58=9,923ej145,784° А
I4=-I11+I33=--2,551-j2,105-9,206+j23,58=-6,654+j25,685=26,533ej104,524° А
I5=-I11+I22=--2,551-j2,105-8,206+j5,58=-5,654+j7,685=9,541ej126,344° А
I6=I22-I33=-8,206+j5,58--9,206+j23,58=1-j18=18,028e-j86,82° А
Выражение мгновенного значения тока в ветви замкнутого выключателя B7:
i1=I1msinωt+ψi1=3,308∙2sinωt-140,476°=4.678sinωt-140,476° А
Определяем полную комплексную мощность источников энергии:
Sи=UI*1+E3I*2+E5I*4+E8I*6=50∙-2,551+j2,105+50∙9,206+j23,58+j50∙-6,654-j25,685+25∙1+j18=-127,571+j105,252+460,284+j1178,993+1284,245-j332,713+25+j450=1641,958+j1401,532=2158,777ej40,483° ВА
Активная мощность источников энергии:
Pи=ReSи=Re1641,958+j1401,532=1641,958 Вт
Комплексная мощность потребителей энергии:
Sп=I12∙Z7+Z10+I32∙Z3+I52∙Z5+I62∙Z8=3,3082∙3+j4+6+j8+9,9232∙3-j4+9,5412∙3+j4+18,0282∙3+j4=1641,958+j1401,532=2158,777ej40,483° ВА
Активная мощность потребителей энергии:
Pп=ReSп=Re1641,958+j1401,532=1641,958 Вт
Составляем баланс активных мощностей:
Pи=Pп
1641,958 Вт=1641,958 Вт
Комплексная мощность источника E3.
E3I*2=P3+jQ3=50∙9,206+j23,58=460,284+j1178,993 ВА
Так как P3=460,284>0, следовательно, источник E3 работает в режиме генератора.
Коэффициент мощности цепи:
cosφ=PпSп=1641,9582158,777=0,761