Методом контурных токов определить действующие I и мгновенные i значения токов в ветвях электрической цепи переменного тока с частотой f=50 Гц (рис

Представим источники ЭДС в комплексной форме:
E3=E3m2=10022=100 В
E5=E5m2=1002ejπ22=100ej90°=j100 В
E8=50 В
U=25 В
В схеме четыре узла (у=4) и шесть ветвей с неизвестными токами (в=6). Число независимых контуров в-у-1=3. Записываем по методу контурных токов систему из 3-х уравнений:
I11Z5+Z7+Z10-I22Z5=-E5+U-I11Z5+I22Z3+Z5+Z8-I33Z8=E8-I22Z8+I33Z8=-E3+E5-E8
Подставляем в полученную систему исходные данные:
I116-j8+3+j4+3-j4-I226-j8=-j100+25-I116-j8+I226+j8+6-j8+6+j8-I336+j8=50-I226+j8+I336+j8=-100+j100-50
I1112-j8-I226-j8=25-j100-I116-j8+I2218+j8-I336+j8=50-I226+j8+I336+j8=-150+j100
Решаем полученную систему в ПО Mathcad матричным методом:
Получаем следующие значения контурных токов в ветвях цепи:
I11=2,907+j1,163 А
I22=-6,105+j6,977 А
I33=-7,105+j24,977 А
Определяем действующие значения токов:
I1=I11=2,907+j1,163=3,131ej21,801° А
I2=-I33=--7,105+j24,977=7,105-j24,977=25,968e-j74,122° А
I3=I22=-6,105+j6,977=9,27ej131,186° А
I4=-I11+I33=-2,907+j1,163-7,105+j24,977=-10,012+j23,814=25,833ej112,802° А
I5=-I11+I22=-2,907+j1,163-6,105+j6,977=-9,012+j5,814=10,724ej147,171° А
I6=I22-I33=-6,105+j6,977--7,105+j24,977=1-j18=18,028e-j86,82° А
Выражение мгновенного значения тока в ветви замкнутого выключателя B8:
i6=I6msinωt+ψi6=18,028∙2sinωt-86,82°=25,495sinωt-86,82° А
Определяем полную комплексную мощность источников энергии:
Sи=UI*1+E3I*2+E5I*4+E8I*6=25∙2,907-j1,163+100∙7,105+j24,977+j100∙-10,012-j23,814+50∙1+j18=72,674-j29,07+710,465+j2497,674+2381,395-j1001,163+50+j900=3214,535+j2367,442=3992,244ej36,371° ВА
Активная мощность источников энергии:
Pи=ReSи=Re3214,535+j2367,442=3214,535 Вт
Комплексная мощность потребителей энергии:
Sп=I12∙Z7+Z10+I32∙Z3+I52∙Z5+I62∙Z8=3,1312∙3+j4+3-j4+9,272∙6+j8+10,7242∙6-j8+18,0282∙6+j8=3214,535+j2367,442=3992,244ej36,371° ВА
Активная мощность потребителей энергии:
Pп=ReSп=Re3214,535+j2367,442=3214,535 Вт
Составляем баланс активных мощностей:
Pи=Pп
3214,535 Вт=3214,535 Вт
Комплексная мощность источника E8.
E8I*6=P8+jQ8=50∙1+j18=50+j900 ВА
Так как P8=50>0, следовательно, источник E8 работает в режиме генератора.
Коэффициент мощности цепи:
cosφ=PпSп=3214,5353992,244=0,805