Метод контурных и узловых уравнений Метод контурных токов

1.Для составления уравнений по законам Кирхгофа обозначим на схеме узлы, независимые контура и условно-положительные направления токов.
В схеме четыре узла и три независимых контура. Таким образом, по первому закону Кирхгофа составим три уравнения (на одно меньше количества узлов) и по второму закону три уравнения (для каждого независимого контура). Всего шесть уравнений.
Рис.1.2. Схема расчета законами Кирхгофа
Обозначаем направления обхода контуров по часовой стрелке
I1-I4+I5=0-для узла aI2-I5-I6=0-для узла b-I3+I4+I6=0-для узла c-I4R4-I5R5+I6R6=0-для контура II2R2+R02+I5R5-I1R1+R01=E2-E1-для контура II-I3R3-I6R6-I2R2+R02=-E2-E3-для контура III
После подстановки заданных численных значений получим
I1-I4+I5=0I2-I5-I6=0-I3+I4+I6=0-2I4-2I5+6I6=03,2I2+2I5-5,9I1=11-8I3-6I6-3,2I2=-53
2.Выполним расчет схемы методом контурных токов и найдем токи во всех ветвях . Обозначаем три независимых контура, контурные токи в контурах и условно-положительные направления токов в ветвях.
Рис.1.3. Схема к расчету методом контурных токов
I11R4+R5+R6-I22R5-I33R6=0-I11R5+I22R2+R02+R1+R01+R5-I33(R2+R02)=E2-E1-I11R6-I22R2+R02+I33R3+R6+R2+R02=-E2-E3
После подстановки исходных данных получим
I112+2+6-2I22-6I33=0-2I11+I222+1,2+5+0,9+2-I332+1,2=25-14-6I11-I222+1,2+I338+6+2+1,2=-25-28
Упрощаем
10I11-2I22-6I33=0-2I11+11,1I22-3,2I33=11-6I11-3,2I22+17,2I33=-53
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
где из составленной выше системы уравнений
R11=R4+R5+R6=10; R12=R21=-R5=-2;
R13=R31=-R6=-6; R22=R2+R02+R1+R01+R5=11,1;
R23=R32=-(R2+R02)=-3,2; R33=R3+R6+R2+R02=17,2
Находим
∆=10-2-6-211,1-3,2-6-3,217,2=10∙11,1∙17,2+-2∙-3,2∙-6+-2∙-3,2∙-6--6∙11,1∙-3,2--2∙-2∙17,2--3,2∙-3,2∙10=1909,2-38,4-38,4-399,6-68,8-102,4=1261,6
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=0-2-61111,1-3,2-53-3,217,2=-3279,4
∆2=100-6-211-3,2-6-5317,2=-836
∆3=10-20-211,111-6-3,2-53=-5187
Находим контурные токи
I11=∆1∆=-3279,41261,6=-2,599 А
I22=∆2∆=-8361261,6=-0,663 А
I33=∆3∆=-51871261,6=-4,111 А
В соответствии с принятыми направлениями токов в ветвях на рис.1.3 определяем токи в ветвях:
I1=-I22=0,663 А
I2=I22-I33=-0,663-(-4,111)=3,448 А
I3=-I33=4,111 А
I4=-I11=2,599 А
I5=I22-I11=-0,663-(-2,599)=1,936 А
I6=I11-I33=-2,599-(-4,111)=1,512 А
3.Составим баланс мощностей
суммарная мощность источников
Pист=E1∙I1+E2∙I2+E3∙I3=14∙0,663+25∙3,448+28∙4,111=210,590 Вт
Мощность, рассеиваемая на нагрузке:
Pнагр=(R1+R01)∙I12+(R2+R02)∙I22+R3∙I32+R4∙I42+R5∙I52+R6∙I62
Pнагр=5+0,9∙0,6632+2+1,2∙3,4482+8∙4,1112+2∙2,5992+2∙1,9362+6∙1,5122=210,563 Вт
Pист=Pнагр
210,590 Вт≈210,563 Вт
Баланс выполняется.