Метод узловых напряжений Определить величины и направления токов во всех ветвях методом узловых напряжений

Выбираем узел a в качестве опорного, приняв его потенциал равным нулю (φa=0).
Т.к. потенциал узла a известен, определяем потенциал узла d:
φd=φa+E1=0+25=25 В
Выразим неизвестные токи ветвей через потенциалы узлов:
I1=φb-φcR1
I2=φd-φb+E2R2
I3=φd-φc-E3R3
I4=φc-φa+E4R4
I5=φb-φaR5
Запишем для узлов с неизвестными потенциалами уравнения по 1-му закону Кирхгофа:
узел b: -I1+I2-I5=0
узел c: I1+I3-I4=0
Подставим в полученные уравнения выражения для токов ветвей через потенциалы узлов:
-φb-φcR1+φd-φb+E2R2-φb-φaR5=0φb-φcR1+φd-φc-E3R3-φc-φa+E4R4=0
φb1R1+1R2+1R5-φcR1=φdR2+E2R2+φaR5-φbR1+φc1R1+1R3+1R4=φdR3-E3R3+φaR4-E4R4
Подставляем исходные данные и упрощаем систему:
φb110+110+110-φc10=2510+3010+010-φb10+φc110+115+115=2515-2015+015-3015
0,3φb-0,1φc=5,5-0,1φb+0,23φc=-1,67
Решаем систему уравнений методом Крамера:
Δ=0,3-0,1-0,10,23=0,06
Δ1=5,5-0,1-1,670,23=1,12
Δ2=0,35,5-0,1-1,67=0,05
φb=Δ1Δ=1,120,06=18,61 В
φc=Δ2Δ=0,050,06=0,83 В
Определяем через найденные потенциалы узлов действительные токи в ветвях схемы:
I1=φb-φcR1=18,61-0,8310=1,78 А
I2=φd-φb+E2R2=25-18,61+3010=3,64 А
I3=φd-φc-E3R3=25-0,83-2015=0,28 А
I4=φc-φa+E4R4=0,83-0+3015=2,06 А
I5=φb-φaR5=18,61-010=1,86 А
Ток I6 определим по 1-му закону Кирхгофа:
I6=I4+I5=2,06+1,86=3,92 А
Проверим правильность расчета токов, составив уравнение баланса мощностей:
ΣPист=E1I6+E2I2-E3I3+E4I4=25∙3,92+30∙3,64-20∙0,28+30∙2,06=263,19 Вт
ΣPн=I12R1+I22R2+I32R3+I42R4+I52R5=1,782∙10+3,64 2∙10+0,282∙15+2,062∙15+1,862∙10=263,19 Вт
ΣPист=ΣPн
263,19 Вт=263,19 Вт