Метод узловых напряжений Определить величины и направления токов во всех ветвях методом узловых напряжений

Выбираем узел d в качестве опорного, приняв его потенциал равным нулю (φd=0).
Т.к. потенциал узла d известен, определяем потенциал узла a:
φa=φd+E3=0+10=10 В
Выразим неизвестные токи ветвей через потенциалы узлов:
I1=φa-φb-E1R1
I2=φb-φd+E2R2
I3=φd-φcR3
I4=φc-φa+E4R4
I5=φc-φbR5
Запишем для узлов с неизвестными потенциалами уравнения по 1-му закону Кирхгофа:
узел b: -I1+I2-I5=0
узел c: -I3+I4+I5=0
Подставим в полученные уравнения выражения для токов ветвей через потенциалы узлов:
-φa-φb-E1R1+φb-φd+E2R2-φc-φbR5=0-φd-φcR3+φc-φa+E4R4+φc-φbR5=0
φb1R1+1R2+1R5-φc1R5=-E11R1-E21R2+φa1R1-φb1R5+φc1R3+1R4+1R5=-E41R4+φa1R4
Подставляем исходные данные:
0,4φb-0,1φc=-4,5-0,1φb+0,27φc=-0,67
Решаем систему уравнений методом Крамера:
Δ=0,4-0,1-0,10,27=0,097
Δ1=-4,5-0,1-0,670,27=-1,267
Δ2=0,4-4,5-0,1-0,67=-0,717
φb=Δ1Δ=-1,2670,097=-13,1 В
φc=Δ2Δ=-0,7170,097=-7,41 В
Определяем через найденные потенциалы узлов действительные токи в ветвях схемы:
I1=φa-φb-E1R1=10--13,1-1510=0,81 А
I2=φb-φd+E2R2=-13,1-0+205=1,38 А
I3=φd-φcR3=0--7,4110=0,74 А
I4=φc-φa+E4R4=-7,41-10+2015=0,17 А
I5=φc-φbR5=-7,41--13,110=0,57 А
Ток I6 определим по 1-му закону Кирхгофа:
I6=I4+I1=-0,17+0,81=0,64 А
Проверим правильность расчета токов, составив уравнение баланса мощностей:
ΣPист=ΣPн
ΣPист=-E1I1+E2I2+E3I6+E4I4=-15∙0,81+20∙1,38+10∙0,64+20∙0,17=25,26 Вт
ΣPн=I12R1+I22R2+I32R3+I42R4+I52R5=0,812∙10+1,382∙5+0,742∙10+0,172∙15+0,572∙10=25,26 Вт