Механическая система состоит из груза 4 (коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1), сплошного однородного цилиндрического катка 5 и ступенчатых шкивов 1 и 2 с радиусами ступеней R1 = 0,3 м; r1= 0,1 м; R2 = 0,2 м; r2 = 0,1 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) (рис.5). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Под действием силы F =F(S), зависящей от перемещения S точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 1 и 2 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные, соответственно, М1 и М2
Определить значение скорости груза 4 V4. в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы F равно S.
Дано
F(S) = 50(3+2S) Н
m1 = 0 кг,
m2 = 4 кг,
m3 = 0 кг,
m4 = 10 кг,
m5 = 6 кг,
R1 = 0,3 м, r1 = 0,1 м,
R2 = 0,2 м, r2 = 0,1 м
S = 1.4 м,
f = 0,1,
М1 = 0
М2 = 0,4 Нм
Рис. 5
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Рассмотрим движение неизменяемой механической системы,
состоящей из тел 1, 2, 4, 5 соединенных нитями. Изобразим все действующие на систему внешние силы: активные F, P4, момент сопротивления М2 реакции N1, N2, N5 и силы трения FТР/
Для определения V4 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы:
T – T0 = ΣA(1)
Определяем Т0 и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т0 = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:
Т = Т1 + Т2 +Т4 +Т5(2)
Учитывая, что тело 5 движется плоскопараллельно, тело 4 – поступательно, а тела 1 и 2 вращаются вокруг неподвижной оси, получим
T1 = I1ω12/2 – кинетическая энергия шкива 1;
T2 = I2ω22/2 – кинетическая энергия шкива 2;
T5 = m5(VC5)2/2 + I5ω52/2 –– кинетическая энергия катка 5
T4 = m4(V4)2/2–– кинетическая энергия груза 4
Подставив значения кинетических энергий в (2), получим
Т = I1ω12/2 + I2ω22/2 + m4(V4)2/2 + m5(VC5)2/2 + I5ω52/2(3)
Все входящие сюда скорости выразим через искомую V4
. Принимаем во внимание, что точка К – мгновенный центр скоростей катка 5, и обозначив радиус катка через r5, получим
ω2 = V4/r2 ; VC5= (V4/r2)R2; ω5 = VC5/r1 =((VC5/r5) = (V4R2)/( r2 r5); (4)
ω1 = VC5/r1 = (V4R2)/( r2 r1);(5)
Кроме того, входящие в уравнение (3) моменты инерции имеют значения
I1 = 0.5 m1R12; I2 = 0.5 m2R22; I5 = 0.5 m5r52; (6)
Подставив все величины (4),.(5) b (6) в равенствj (3), получим кинетическую энергию системы:
Т =(0.5 m1R12)(VC5/r1)2/2 + (0.5 m2R22)(V4/r2 )2/2 + m4(V4)2/2 + m5((V4/r2)R2)2/2 + + (0.5 m5r52)((V4R2)/( r2 r5))2/2;
Подставив числовые значения, получим
Т= 0 + (0.5*4*0,22)*(V4/0,1 )2/2 + 10(V4)2/2 + 6((V4/0,1)*0,2)2/2 + + (0.5*6*r52)*((V4*0,2/(0,1* r5))2/2 = 27 V42;
Т = = 27 V42; (7)
Найдём сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда точка С1 пройдет путь S=1,4 м учтем, что здесь зависимость между перемещениями будет такой же, как и между соответствующими скоростями в равенствах (4) и (5), т.е.
φ1 = S/R1 = 1.4/0.3 = 4.67 рад;
S5 = φ1r1 = 4.67*0.1 = 0.467 м;
φ2 = S5/R2 = 0,467//0.2 = 2,33 рад;
S4 = φ2r2 = 2,33 * 0.1 = 0,233 м;
А(Р5) = -m5g sin 30ºS5= -6 * 10 * 0.5 * 0.467 = -14 Дж
А(М2) = -m2φ2 = -0,4 * 2,33 = -0,932 Дж
А(Р4) = -m4g S4= -10 * 10 * 0.233 = -23,3 Дж
А(F) =0S50(3+2S)dS =50(3S+S2)= 50(3*1.4 + 1.42) = 308 дж:
Работа остальных сил равна нулю, так как точка К – мгновенный центр скоростей, точки О1 и О2 неподвижны, а реакция N5 перпендикулярна перемещению катка 5
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
