Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых x=A1∙cos ωt (1) и y=A2∙cos ω2t (2), где А1 = 12 см, A2 = 4,3 см, ὼ = 14 с-1. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.
Дано: Си Решение:
А1 = 12 см 0,12 м Чтобы найти уравнение траектории точки,
A2 = 4,3 см 0,043 м исключим время t из заданных уравнений
ὼ = 14 с-1 (1) и (2). Для этого воспользуемся формулой
y(x) - ? cosα2=1+cosα2
В данном случае α=ωt , поэтому
y=A2cosω2t=A21+cosωt2
Из формулы (1) выразим cosωt
cosωt=xA1
Тогда, запишем
yx=A212∙1+xA1
yx=4,3∙12∙1+x12, см
Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах -12 до +12 см по оси Ох и от -4,3 до +4,3 см по оси Оу.
Для построения траектории найдем по уравнению траектории точки значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию х≤12 см, и составим таблицу
х, см
-12 -8 -4 0 4 8 12
y, см 0 ±1,76
±2,48
±3,04
±3,51
±3,93
±4,3
Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плоскость хОу найденные очки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колебания в соответствии с уравнениями движения (1) и (2).
Для того, чтобы указать направление движения точки, проследим за ем, как изменяется ее положение с течением времени. В начальный момент времени t=0 координаты точки равны х(0) = 12 см и y(0) = 4,3 см. В последующий момент времени, например, при t1 = 1 с, координаты точек изменятся и станут равными х(1) = 11,64 см и y(1) = 4,27 см. Зная положение точек в начальный и последующий (близкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории (от точки A к началу координат). После того как колеблющаяся очка достигнет точки B, она будет двигаться в обратном направлении.
Ответ: уравнение траектории точки yx=4,3∙12∙1+x12, см.
Практическое занятие №1
Необходимо построить график функций y1=A1∙sinω1t+φ1 и y2=A2∙sinω2t+φ2, где A1 и A2 – амплитуды, мм; ω1 и ω2 - круговые частоты, рад/c; φ1 и φ2 - начальные фазы, рад; t - время, с. Провести графическое сложение этих функций.
T1 110 c
A1 150 мм
φ1
1 рад
T2 170 с
A2 150 мм
φ2
0,8 рад
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Построим графики функций y1=A1∙sinω1t+φ1 и
y2=A2∙sinω2t+φ2.
Сначала найдем круговые частоты для первого и второго уравнений, соответственно
ω1=2πT1=2π110 с-1=π55 с-1
ω2=2πT2=2π170 с-1=π85 с-1
φ1=1 рад≈57˚
φ2=0,8 рад≈46˚
Перепишем графики функций, подставив все заданные и найденные значения
y1=15∙sinπ55t+57, см
y2=15∙sinπ85t+46, см
Изобразим положение векторов A1 и A2, складываемых колебаний в произвольный момент времени t, когда фазы этих колебаний соответственно равны ω1t+φ1 и ω2t+φ2. Сложение колебаний сводится к определению y=y1+y2.
Амплитуды обоих колебаний по условию задачи одинаковы A1= A2=A. Поскольку частоты колебаний несколько отличны ω1– ω2 =∆ω, выберем начало отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны пулю φ1 = φ2 = 0
. Тогда уравнения обоих колебаний удобно представить в следующем виде
y1=A1∙sinω1t+φ1=A∙sinωt и y2=A2∙sinω2t+φ2=A∙sin(ω+∆ω)t.
причем =∆ω << ω.
Складывая эти два выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы синусов, получим
y=A∙sinωt+A∙sinω+∆ωt=A∙(sinωt+sinω+∆ωt)=2А∙sinω+12∆ωt∙cos12∆ωt≈2A∙sinωt∙cos∆ωt2
Если допустить, что множитель sin ω t совершает несколько полных колебаний за некоторое время, то множитель cos (Δ ω ∙t /2), ввиду условия Δ ω << ω, изменится незначительно
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
