Материальная точка 1 движется по своей траектории в вертикальной плоскости под действием подъемной силы (- масса точки). На точку действует сила сопротивления среды ,
(). Определить уравнения движения точки, если
1
O
х
у
Решение
Изобразим материальную точку в произвольный момент времени. На нее действуют сила тяжести , подъемная сила , сила сопротивления среды
Уравнения движения точки в проекциях на оси координат имеют вид:
Или, учитывая, что
разделим полученные уравнения на m
Рассмотрим первое уравнение системы:
Запишем его в виде:
- линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Его характеристическое уравнение:
Тогда корни характеристического уравнения:
И общее решение уравнения:
Тогда
Так как , то
.
Так как , то .
Тогда частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным условиям, будет иметь вид:
Или, учитывая, исходные данные:
Рассмотрим второе уравнение системы:
Запишем его в виде:
(1)
линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Соответствующее ему однородное дифференциальное уравнение:
Его характеристическое уравнение:
Тогда корни характеристического уравнения:
И общее решение однородного дифференциального уравнения:
(2)
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1) ищем в виде:
(3)
Так как , то подставив (3) в (1), получим:
Или
Приравняв коэффициенты при соответствующих членах многочленов, получим:
И частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1):
Тогда общее решение уравнения (1) можно записать как сумму общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения:
Тогда
Так как , и , то получим следующую систему уравнений для нахождения переменных интегрирования:
Откуда получим:
Тогда частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным условиям, будет иметь вид:
Или, учитывая, исходные данные:
Значит, уравнения движения тела будут иметь вид:
;
на новый заказ в Автор24.
