Малое предприятие изготавливает изделия двух видов А и В, используя при этом два вида сырья S и S2. Расход сырья на производство каждого вида изделий, запасы сырья, а также ожидаемая прибыль от реализации изделий и представлены в таблице.
Виды сырья Расход ресурса на 1 ед. изделия Общее количество ресурса
А В
S1 6 4 192
S2 12 6 336
Прибыль на 1 изделие (усл. ед.) 132 84
Какой должен быть план производства, чтобы суммарная прибыль оказалась максимальной?
Решение
Пусть необходимо выпускать изделий А – х1, изделий В – х2, тогда ограничения
по ресурсу S1:6x1+4x2≤192,по ресурсу S2:12x1+6x2≤336,по неотрицательности переменных:
х1>0,
х2>0.
Прибыль определяется как F=132x1+84x2, которую необходимо максимизировать.
Математическая модель задачи имеет вид:
F = 132x1+84x2 → max
6x1+4x2≤192,12x1+6x2≤336,
х1>0,
х2>0.
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 132x1+84x2 при системе ограничений:
6x1+4x2≤192, (1)12x1+6x2≤336, (2)x1 ≥ 0, (3)x2 ≥ 0, (4)
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.
Построим уравнение 6x1+4x2 = 192 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 48. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 32. Соединяем точку (0;48) с (32;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:6 ∙ 0 + 4 ∙ 0 - 192 ≤ 0, т.е
. 6x1+4x2 - 192≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение 12x1+6x2 = 336 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 56. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 28. Соединяем точку (0;56) с (28;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:12 ∙ 0 + 6 ∙ 0 - 336 ≤ 0, т.е. 12x1+6x2 - 336≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи F = 132x1+84x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 132x1+84x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (132;84). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области.
Прямая F(x) = const пересекает область в точке C
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
