Магазин имеет некоторый запас товаров ассортиментного минимума. Если запас товаров недостаточен, то необходимо завести его с базы; если запас превышает спрос, то магазин несет расходы по хранению нереализованного товара. Пусть спрос на товары лежит в пределах S=5-8 единиц, расходы по хранению одной единицы товара составляют c руб., а расходы по завозу единицы товара k руб., цена за единицу товара составляет p руб. Составить платежную матрицу, элементами которой является прибыль магазина (доход от продажи с учетом расходов по хранению или по завозу). Определить оптимальную стратегию магазина по завозу товаров, используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица при α=0,5, Лапласа.
Решение
А) р=210, с=70, k=60.
В игре участвуют 2 игрока: А – магазин, П – покупатель (природа).
Игрок А стремится реализовать свою продукцию так, чтобы получить максимальную прибыль. Стратегиями игрока А являются:
А1 – реализовывать товар в расчете на спрос в 5 единиц;
А2 – реализовывать товар в расчете на спрос в 6 единиц.;
А3 – реализовывать товар в расчете на спрос в 7 единиц;
А4 – реализовывать товар в расчете на спрос в 8 единиц.
Состояния природы П могут быть следующими:
П1 – спрос на товар в 5 единиц;
П2 – спрос на товар в 6 единиц;
П3 – спрос на товар в 7 единиц;
П4 – спрос на товар в 8 единиц.
Рассчитаем элементы платежной матрицы (прибыль магазина, руб.):
Состояния природы П
П1
П2
П3 П4
5 ед. 6 ед. 7 ед. 8 ед.
Стратегии игрока А
А1
5 ед. 5*210-(5*60)=750 5*210-(5*60)=
750 5*210-5*60=
750 5*210-5*60=
750
А2
6 ед. 5*210-(6*60+1*70) =620 6*210-(6*60)=900 6*210-6*60=
900 6*210-6*60=
900
А3 7 ед. 5*210-(7*60+2*70) =490 6*210-(7*60+1*70) =770 7*210-7*60=840 7*210-7*60=
1050
А4
8 ед. 5*210-(8*60+3*70) =360 6*210-(8*60+2*70) =640 7*210-(7*60+1*70)=770 8*210-8*60=1200
Окончательно, платежная матрица примет вид
Стратегии П1
П2
П3 П4
А1
750 750 750 750
А2
620 900 900 900
А3 490 770 840 1050
А4
360 640 770 1200
Найдем седловую точку, для чего составим расчетную таблицу
Стратегии П1
П2
П3 П4
αi=min аij
j
А1
750 750 750 750 750
А2
620 900 900 900 620
А3 490 770 840 1050 490
А4
360 640 770 1200 360
βj=max аij
i 750 900 900 1200
α = max αi = 750 β = min βj = 750
Так как α = β = ν = 750, то найдена седловая точка. Значит, оптимальное решение: А1; П1
Магазин (игрок А) получит гарантированную прибыль в размере 750 руб., если будет реализовывать свою продукцию при реализации товара в расчете на спрос в 5 ед.
Применим различные критерии для решения задачи.
Критерий Лапласа.
Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:
q1 = q2 = ... = qn = 1/n.
qi = 1/4
Ai П1 П2 П3 П4 ∑(aij)
A1 187.5 187.5 187.5 187.5 750
A2 155 225 225 225 830
A3 122.5 192.5 210 262.5 787.5
A4 90 160 192.5 300 742.5
pj
0.25 0.25 0.25 0.25
Выбираем из (750; 830; 787.5; 742.5) максимальный элемент max=830
Вывод: выбираем стратегию А2.
Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min aij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Ai П1 П2 П3 П4 min(aij)
A1 750 750 750 750 750
A2 620 900 900 900 620
A3 490 770 840 1050 490
A4 360 640 770 1200 360
Выбираем из (750; 620; 490; 360) максимальный элемент max=750
Вывод: выбираем стратегию А1.
Критерий Сэвиджа
.
Критерий минимального риска Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max rij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце bj = max(aij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r11 = 750 - 750 = 0; r21 = 750 - 620 = 130; r31 = 750 - 490 = 260; r41 = 750 - 360 = 390;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r12 = 900 - 750 = 150; r22 = 900 - 900 = 0; r32 = 900 - 770 = 130; r42 = 900 - 640 = 260;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r13 = 900 - 750 = 150; r23 = 900 - 900 = 0; r33 = 900 - 840 = 60; r43 = 900 - 770 = 130;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r14 = 1200 - 750 = 450; r24 = 1200 - 900 = 300; r34 = 1200 - 1050 = 150; r44 = 1200 - 1200 = 0;
Ai П1 П2 П3 П4
A1 0 150 150 450
A2 130 0 0 300
A3 260 130 60 150
A4 390 260 130 0
Результаты вычислений оформим в виде таблицы.
Ai П1 П2 П3 П4 max(aij)
A1 0 150 150 450 450
A2 130 0 0 300 300
A3 260 130 60 150 260
A4 390 260 130 0 390
Выбираем из (450; 300; 260; 390) минимальный элемент min=260
Вывод: выбираем стратегию А3.
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(si)
где si = y min(aij) + (1-y)max(aij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем si.
s1 = 0.5*750+(1-0.5)*750 = 750
s2 = 0.5*620+(1-0.5)*900 = 760
s3 = 0.5*490+(1-0.5)*1050 = 770
s4 = 0.5*360+(1-0.5)*1200 = 780
Ai П1 П2 П3 П4 min(aij) max(aij) y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1 750 750 750 750 750 750 750
A2 620 900 900 900 620 900 760
A3 490 770 840 1050 490 1050 770
A4 360 640 770 1200 360 1200 780
Выбираем из (750; 760; 770; 780) максимальный элемент max=780
Вывод: выбираем стратегию А4.
б) р=320, с=40, k=90.
В игре участвуют 2 игрока: А – магазин, П – покупатель (природа).
Игрок А стремится реализовать свою продукцию так, чтобы получить максимальную прибыль
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
