Локализовать корень нелинейного уравнения fx=0 и найти его методом бисекции с точностью ε1=0,01. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по другому
Локализовать корень нелинейного уравнения fx=0 и найти его методом бисекции с точностью ε1=0,01

Локализовать корень нелинейного уравнения fx=0 и найти его методом бисекции с точностью ε1=0,01 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Локализовать корень нелинейного уравнения fx=0 и найти его методом бисекции с точностью ε1=0.01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε2=0.0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности ε2 число итераций. fx=x-1-1x+1

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Отделим корни уравнения графически:
Вычислим первую и вторую производную.
f'x=12x-1+1(x+1)2; f''x=-14x-132-2x+13
На отрезке [1; 2] f'x>0 (функция монотонно возрастает), f''x<0 (график функции выпуклый), на концах отрезка функция имеет разные знаки.
Также f'x>0 и fx непрерывна на всей области определения x>1. Таким образом, единственный корень находится на отрезке [1; 2].
Метод бисекции
Шаг 1
вычисляем значение функции в середине отрезка a;b
c=b+a2
Шаг 2
Из двух отрезков a;c и c;b выбираем один, в котором произведение значений функций на концах меньше нуля
Т.е. если fa∙fc<0, то переходим к шагу 1, приняв, в качестве конца отрезка b=с, иначе в качестве начала отрезка принимаем a=c
Процесс продолжается, пока b-a>ε=ε1=0.01
В качестве ответа принимается x=b+a2
Вычисления сведём в таблицу:
n a c b fa
fc
f(b)
fa∙fc
fb∙fc
b-a
0 1 1,5 2 -0,5 0,30711 0,66667 <0 >0 1
1 1 1,25 1,5 -0,5 0,05556 0,30711 <0 >0 0,5
2 1 1,125 1,25 -0,5 -0,11703 0,05556 >0 <0 0,25
3 1,125 1,1875 1,25 -0,11703 -0,02413 0,05556 >0 <0 0,125
4 1,1875 1,21875 1,25 -0,02413 0,017 0,05556 <0 >0 0,0625
5 1,1875 1,20313 1,21875 -0,02413 -0,00321 0,017 >0 <0 0,03125
6 1,20313 1,21094 1,21875 -0,00321 0,00698 0,017 <0 >0 0,01563
7 1,20313 1,20703 1,21094 -0,00321 0,00191 0,00698 <0 >0 0,00781
На седьмом шаге b-a>0.01, следовательно, в качестве решения задачи с точностью 0.01 принимаем
x=b+a2≈1.207
Метод простой итерации
Необходимо представить исходное уравнение в виде
x=φx.
В данном случае:
x-1-1x+1=0 ⟹x=1x+12+1.
Для сходимости метода простой итерации достаточно, чтобы φ'(x)<1.
φ'x=-2x+13
Очевидно, на отрезке поиска корня [1; 2] 2x+13<1 условие сходимости выполнено.
По методу простой итерации каждое следующее приближение получается из предыдущего по формуле:
xk+1=φ(xk)
Процесс продолжается, пока xk+1-xk>ε=ε2=0.0001
В качестве ответа принимается X=xk+1
Примем x0=1.207
Вычисления сведём в таблицу:
k xk
xk+1=φxk
xk+1-xk
0 1,207 1,20530 0,00170
1 1,20530 1,20562 0,00032
2 1,205619 1,20556 0,00006
Поскольку x3- x2=0.00006<0.0001,
то окончательно принимаем в качестве значения корня с точностью ε2=0.0001
X=1.20556.
Для оценки необходимого числа итераций воспользуемся формулой
xk-X<qkx0-X,
где q=maxx∈[a,b]φ'x.
В данном случае maxx∈[1.2,1.21]φ'x=φ'1.2=21.2+13≈0.188.
Тогда
k<lnxk-Xx0-Xlnq=lnε21.207-1.20556ln0.188≈1.596
Таким образом, необходимо 2 итерации, чтобы получить решение с точностью ε2=0.0001.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

Локализовать корень нелинейного уравнения fx=0 и найти его методом бисекции с точностью ε1=0,01

Условие

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Число доживающих до 27 лет – 64016 вероятность дожить до 26 лет

Из урны в которой находится 5 белых и 3 черных шара