Конкретный индивидуальный вариант стохастической сети составляется преобразованием из показанной на рисунке сети, путем удаления из нее некоторых СМО.
Вариант СМО1 СМО2 СМО3 СМО4 СМО5 СМО6
12 -
-
+
+
+
-
М/М/2 М/M/1 M/G/1
Переходные вероятности:
p40=0,3;p45=0,5;p46=0,2
Интенсивность входящего потока:
λ3=150:λ0=λ3
Среднее время обслуживания в СМО (секунд):
v3=90;v4=7;v5=15
Для СМОi типа СМО M/G/1 коэффициент вариации времени обслуживания vi равен γi=0,577, что соответствует СМО типа СМО M/U/1 с равновероятным законом распределения времени обслуживания.
Найти: характеристики каждой СМО: ui,wi,li,mi ; характеристики сети в целом:u,m и предельную достижимую производительность сети как max(λ0), при которой u<uдопустимое. Величину uдопустимое выбрать самостоятельно исходя из здравого смысла. Выдвинуть предложения по оптимизации характеристик сети путем устранения 1-2 «узких мест».
Решение
Имеем следующую стохастическую сеть:
Переходные вероятности:
p20=0,5;p25=0,5
Интенсивность входящего потока:
λ1=150:λ0=λ1
Среднее время обслуживания в СМО (секунд):
v1=90;v2=7;v3=15
Найдем показатели работы СМО1 – двухканальной СМО с ожиданием.
Вычисляем нагрузку на СМО:
ρ1=λ1v1=9050=1,8
Тогда вероятность отсутствия заявок в системе:
P0=1k=0nρkk!+ρn+1n!n-ω=1k=021,8kk!+1,82+12!2-1,8≈0,053
Вычисляем основные характеристики работы:
- среднее число заявок, находящихся в очереди:
l1=ρn+1n∙n!1-ω3n2P0=1,832∙2!1-1,822∙0,053≈7,727
- среднее число заявок, находящихся в системе:
m1=l1+ρ1=7,727+1,8=9,527
- среднее время нахождения в системе:
u1=m1λ1=9,527∙50=476,35сек
- среднее время ожидания:
w1=u1-v1=476,35-90=386,35сек
Для расчета характеристик СМО3 и СМО4 определим их интенсивности входных потоков, для чего запишем матрицу передач между СМО:
P=0100,500,5010
По матрице передач строим систему уравнений баланса интенсивностей (коэффициенты правой части системы есть транспонированная матрица передач):
λ0=0,5λ2λ2=λ0+λ3λ3=0,5λ2
Учитывая, что согласно условию λ0=150, последовательно находим:
λ2=λ00,5=125
λ3=0,5λ2=150
Находим показатели работы СМО2 – одноканальной СМО с ожиданием.
Вычисляем нагрузку на СМО:
ρ2=λ2v2=125∙7=0,28
Вычисляем основные характеристики работы:
- среднее число заявок, находящихся в очереди:
l2=ρ221-ρ2=0,2821-0,28≈0,109
- среднее число заявок, находящихся в системе:
m2=ρ21-ρ2=0,281-0,28≈0,389
- среднее время нахождения в системе:
u2=m2λ2=0,389∙25=9,725сек
- среднее время ожидания:
w2=u2-v2=9,725-7=2,725сек
Находим показатели работы СМО3 – одноканальной СМО с ожиданием и с произвольным распределением времени обслуживания.
Вычисляем нагрузку на СМО:
ρ3=λ3v3=150∙15=0,3
Вычисляем основные характеристики работы:
- среднее число заявок, находящихся в очереди:
l3=ρ321+γ22(1-ρ3)=0,321+0,577221-0,3≈0,086
- среднее число заявок, находящихся в системе:
m3=ρ3+l3=0,3+0,086=0,386
- среднее время нахождения в системе:
u3=m3λ3=0,386∙50=19,3сек
- среднее время ожидания:
w3=u3-v3=19,3-15=4,3сек
Определяем характеристики сети в целом:
- среднее число заявок, находящихся в сети:
m=imi=9,527+0,389+0,386=10,302 заявок
- среднее время нахождения в системе:
u=1λ0iλiui=50476,3550+9,72525+19,350=515,1(сек)
Узким местом сети СМО является СМО1 – из среднего времени пребывания заявки в сети, равного 515,1 секунды более 90% времени (476,35 секунд) заявка пребывает именно в СМО1, поэтому следует увеличить число обрабатывающих приборов в СМО1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
