Конфигурация электрической цепи, представленная в виде схемы (рис.1)

Рассмотрим схему представленную на рис.1 и определим количество ветвей присутствующих в схеме, при этом произвольно обозначаем направления протекающих в ветвях токов. В рассматриваемой схеме присутствует 8 ветвей, в каждой из которых протекает собственный ток. Вводим обозначения для токов протекающих в ветвях рассматриваемой схемыI1, I2, I3, …I8. Ток I8 соответствует току в ветви, содержащей источник токаJ1. Таким образом значение тока I8 может считаться известным и равным значениюJ1:
I8=J1. (1)
Остальные значения токов I1 – I7в ветвях схемы (рис.1) рассматриваем как неизвестные. Для определения значений токов I1 – I7необходимо составить систему из 7-ми линейных уравнений, используя законы Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа необходимо составить (n-1) уравнение, где n – количество узлов. В рассматриваемой схеме содержится 5 узлов (узлы на схеме обозначены цифрами от 1 до 5), таким образом значение n в данном случае равно5. Следовательно, по первому закону Кирхгофа составляем уравнения для любых 4-х узлов рассматриваемой схемы.
Для 2-го узла уравнение по первому закону Кирхгофа запишется как:
I2+I8-I4=0. (2)
Или:
I2-I4=-J1. (2а)
Для 3-го узла:
I4+I3-I5=0. (3)
Для 4-го узла:
I5-I1-I7=0 (4)
Для 5-го узла:
I7+I1-I6=0 (5)
Четыре уравнения (2)-(5) составлены по первому закону Кирхгофа. Оставшиеся уравнения необходимых следует записать по второму закону Кирхгофа предварительно выделив в рассматриваемой схеме (рис.1) 3 независимых контура. При этом в схеме следует выделять контуры, не содержащие источники тока. Направление обхода контуров определяем произвольно.
Для контура I:
I2R2+R0+R0+R7+I4R4-I3(R3+R0)=E2-E3-E1 (6)
Для контура II:
I6R6+I3R3+R0+R5I5+R1I1=E1 (7)
Для контура III:
R8I7-R1I1=0 (8)
Вводим следующие обозначения:
R12=R2+R0+R0+R7R14=R4R13=R3+R0R26=R6R23=R3+R0R25=R5R21=R1R31=R1R37=R8 (9)
После чего, используя уравнения (2) – (8) формируем систему линейных уравнений:
I2-I4=-J1I4+I3-I5=0I5-I1-I7=0I7+I1-I6=0I2R12+I4R14-I3R13=E2-E3-E1I6R26+I3R23+R25I5+R21I1=E1R37I7-R31I1=0 (10)
Полученную систему уравнений следует решить относительно неизвестных токов I1 – I7. Для этих целей систему уравнений (10) предварительно следует преобразовать к матричной форме записи:
0 1 0 –1 0 0 0
0 0 1 1 -1 0 0
-1 0 0 0 1 0 -1
1 0 0 0 0 -1 1
0
R12
-R13
R14
0 0 0
R21
0
R23
0
R25
R26
0
-R31
0 0 0
0
0
R37
×I1I2I3I4I5I6I7=-J1000E2-E3-E1E10 (11)
Вводим следующие обозначения в системе уравнений, записанной в матричной форме (11):
матрица системы или матрица коэффициентов при неизвестных R:
0 1 0 –1 0 0 0
0 0 1 1 -1 0 0
-1 0 0 0 1 0 -1
R=
1 0 0 0 0 -1 1
0
R12
-R13
R14
0 0 0
R21
0
R23
0
R25
R26
0
-R31
0 0 0
0
0
R37
(12)
матрица-столбец неизвестных переменных I, в качестве которых в данном случае рассматриваются токи I1 – I7:
I=I1I2I3I4I5I6I7 (13)
матрица-столбец свободных членов Е:
E=-J1000E2-E3-E1E10 (14)
Учитывая обозначения (12)-(14) систему уравнений (15) можно записать в следующем виде:
RI=E (15)
Полученная система уравнений (15) может быть решена относительно токов одним из известных методов решения системы алгебраических линейных уравнений (методом Крамера, методом Гаусса, с использованием обратной матрицы и т.п.) . В данной работе для решения системы уравнений (15) используется метод Крамера. Согласно данному методу каждый из неизвестных токов, входящих в матрицу столбец I (13) будет определяться следующим образом:
I1=∆1∆I2=∆2∆I3=∆3∆⋮I7=∆7∆ (16)
или:
Ik=∆k∆k=1,…, 7 (17)
В последнем выражении: ∆ – определитель матрицы системы R; ∆k,k=1,…, 7 – определители матриц, получаемых на основании матрицы системы R путём замены k-го столбца в матрице системы R на матрицу-столбец свободных членов Е.
Таким образом, для определения числовых значений токов I1 – I7, подставляем соответствующие числовые значения параметров сопротивлений и источников электрической энергии в (12), (13) и (14), при этом получаем:
R12=R2+R0+R0+R7=46.2 ОмR14=R4=39 ОмR13=R3+R0=45,1 ОмR26=R6=32 ОмR23=R3+R0=45,1 ОмR25=R5=18 ОмR21=R1=15 ОмR31=R1=15 ОмR37=R8=31 Ом (18)
Формируем матрицу системы (12), или матрицу коэффициентов при неизвестных R:
0 1 0 -1 0 0 0
0 0 1 1 -1 0 0
-1 0 0 0 1 0 -1
Δ=
1 0 0 0 0 -1 1
0 46,2 -45,1 39 0 0 0
15 0 45,1 0 18 32 0
-15 0 0 0 0 0 31
=537035,4
Формируем матрицу-столбец свободных членов Е:
E=-J1000E2-E3-E1E10=-0.2000-31120
Для определения неизвестных значений токов с помощью метода Крамера, формируем соответствующие матрицы согласно правилу (16)-(17), и вычисляем значения их определителей. Для вычисления определителя ∆1 формируем матрицу R1 согласно правилу (17):
-J1
1 0 –1 0 0 0
0 0 1 1 -1 0 0
0 0 0 0 1 0 -1
R1=
0 0 0 0 0 -1 1
E2-E3-E1
R12
-R13
R14
0 0 0
E1
0
R23
0
R25
R26
0
0
0 0 0
0
0
R37
После подстановки числовых значений в предыдущую матрицу получаем:
-0,2 1 0 -1 0 0 0
0 0 1 1 -1 0 0
0 0 0 0 1 0 -1
Δ1=
0 0 0 0 0 -1 1
-31 46,2 -45,1 39 0 0 0
12 0 45,1 0 18 32 0
0 0 0 0 0 0 31
=48048,94
Для вычисления определителя ∆2 формируем матрицу R2 согласно правилу (17):
0 -J1
0 –1 0 0 0
0 0 1 1 -1 0 0
-1 0 0 0 1 0 -1
R2=
1 0 0 0 0 -1 1
0
E2-E3-E1
-R13
R14
0 0 0
R21
E1
R23
0
R25
R26
0
-R31
0 0 0
0
0
R37

После подстановки числовых значений в предыдущую матрицу получаем:
0 -0,2 0 -1 0 0 0
0 0 1 1 -1 0 0
-1 0 0 0 1 0 -1
Δ2=
1 0 0 0 0 -1 1
0 -31 -45,1 39 0 0 0
15 12 45,1 0 18 32 0
-15 0 0 0 0 0 31
=-187822
Для вычисления определителя ∆3 формируем матрицу R3 согласно правилу (17):
0 1 -J1
–1 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0
-1 0 0 0 1 0 -1
R3=
1 0 0 0 0 -1 1
0
R12
E2-E3-E1
R14
0 0 0
R21
0
E1
0
R25
R26
0
-R31
0 0 0
0
0
R37


После подстановки числовых значений в предыдущую матрицу получаем:
0 1 -0,2 -1 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0
-1 0 0 0 1 0 -1
Δ3=
1 0 0 0 0 -1 1
0 46,2 -31 39 0 0 0
15 0 12 0 18 32 0
-15 0 0 0 0 0 31
=107196,8

Выполняя аналогичные операции с матрицей системы R согласно (16)-(17) находим числовые значения определителей ∆4, ∆5, ∆6 и ∆7: Используя известные значения определителей матриц ∆, ∆1, …, ∆7применяя выражения () определяем искомые значения токов:
0 1 0 -0,2 0 0 0
0 0 1 0 -1 0 0
-1 0 0 0 1 0 -1
Δ4=
1 0 0 0 0 -1 1
0 46,2 -45,1 -31 0 0 0
15 0 45,1 12 18 32 0
-15 0 0 0 0 0 31
=-80414,5
0 1 0 -1 -0,2 0 0
0 0 1 1 0 0 0
-1 0 0 0 0 0 -1
Δ5=
1 0 0 0 0 -1 1
0 46,2 -45,1 39 -31 0 0
15 0 45,1 0 12 32 0
-15 0 0 0 0 0 31
=26782,3
0 1 0 -1 0 -0,2 0
0 0 1 1 -1 0 0
-1 0 0 0 1 0 -1
Δ6=
1 0 0 0 0 0 1
0 46,2 -45,1 39 0 -31 0
15 0 45,1 0 18 12 0
-15 0 0 0 0 0 31
=26782,3
0 1 0 -1 0 0 -0,2
0 0 1 1 -1 0 0
-1 0 0 0 1 0 0
Δ7=
1 0 0 0 0 -1 0
0 46,2 -45,1 39 0 0 -31
15 0 45,1 0 18 32 12
-15 0 0 0 0 0 0
=8733,36
То есть получили искомые значения токов:
I1=18048,94537035,4=0,034 (А)I2=-187822537035,4=-0,35 (А)I3=107196,8537035,4=0,2 (А)I4=-80414,5537035,4=-0,15 (А)I5=26782,3537035,4=0,05 (А)I6=26782,3537035,4=0,05 (А)I7=8733,36537035,4=0,016 (А) (19)
Полученные значения токов (19) следует проверить используя баланс мощностей[1, стр