Конфигурация электрической цепи, представленная в виде схемы (рис.1)

Рассмотрим схему представленную на рис.1 и определим количество ветвей присутствующих в схеме, при этом произвольно обозначаем направления протекающих в ветвях токов. В рассматриваемой схеме присутствует 8 ветвей, в каждой из которых протекает собственный ток. Вводим обозначения для токов протекающих в ветвях рассматриваемой схемы I1, I2, I3, … I8. Ток I8 соответствует току в ветви, содержащей источник тока J1. Таким образом значение тока I8 может считаться известным и равным значению J1:
I8=J1 . (1)
Остальные значения токов I1 – I7 в ветвях схемы (рис.1) рассматриваем как неизвестные. Для определения значений токов I1 – I7 необходимо составить систему из 7-ми линейных уравнений, используя законы Кирхгофа [1, стр. 32]. По первому закону Кирхгофа необходимо составить (n-1) уравнение, где n – количество узлов. В рассматриваемой схеме содержится 5 узлов (узлы на схеме обозначены цифрами от 1 до 5), таким образом значение n в данном случае равно 5. Следовательно, по первому закону Кирхгофа составляем уравнения для любых 4-х узлов рассматриваемой схемы.
lefttop
Рис.2. Преобразованная схема.
Для 1-го узла уравнение по первому закону Кирхгофа запишется как:
I2+I3-I4=0. (2)
Для 2-го узла:
I4+I5-I7=0. (3)
Для 3-го узла:
I7-I2-I3=0 (4)
Для 4-го узла:
I6-I1-J1=0 (5)
Четыре уравнения (2)-(5) составлены по первому закону Кирхгофа. Оставшиеся три уравнения из 7-ми необходимых следует записать по второму закону Кирхгофа предварительно выделив в рассматриваемой схеме (рис.1) четыре независимых контура. При этом в схеме следует выделять контуры, не содержащие источники тока. Для дальнейшего более детального анализа, не изменяя конфигурации схемы представленной на рис. 1 её следует преобразовать следующим образом (рис.2). В последней схеме выделяются три независимых контура без источников тока, обозначенных соответственно I-III. Направление обхода контуров определяем произвольно. Для контура I уравнение записанное по второму закону Кирхгофа будет иметь вид:
E2-E3=UR1+UR2+UR0+UR0+UR3 (6)
Падения напряжения на элементах, входящих в данный контур и содержащиеся в правой части уравнения (6) преобразуем используя закон Ома через величину токов, протекающих через соответствующие элементы. Тогда уравнение (6) запишется следующим образом:
I2R1+R2+R0-I3(R0+R3)=E2-E3 (7)
Для контура II уравнение записанное по второму закону Кирхгофа будет иметь следующий вид:
I3R3+R0+I4R4+I7R7=E3 (9)
Для контура III:
I1R8+R0+I5R5+I7R7+I6R6=E1 (10)
Вводим следующие обозначения:
R11=R8+R0R12=R1+R2+R0R13=R3+R0R14=R4R15=R5R16=R6R17=R7 (11)
После чего, используя уравнения (8) – (11) формируем систему линейных уравнений, которую можно рассматривать как математическую модель процессов преобразования энергии в электрической цепи, представленной в виде схемы на рис . 2:
I2+I3-I4=0I4+I5-I7=0I7-I2-I3=0I6-I1-J1=0 I2R12-I3R13=E2-E3 I3R13+I4R14+I7R17=E3 I1R11+I5R15+I6R16+I7R17=E1 (13)
Полученную систему уравнений следует решить относительно неизвестных токов I1 – I7. Для этих целей систему уравнений (13) предварительно следует преобразовать к матричной форме записи:
0I1+1∙I2+1∙I3+-1I4+0∙I5+0∙I6+0∙I7=00∙I1+0∙I2+0∙I3+1∙I4+1∙I5+0∙I6+-1∙I7=00∙I1+-1∙I2+-1∙I3+0∙I4+0∙I5+0∙I6+1∙I7=0-1∙I1+0∙I2+0∙I3+0∙I4+0∙I5+1∙I6+0∙I7=J1 14 0∙ I1+R12I2+-R13∙I3+0∙I4+0∙I5+0∙I6+0∙I7=E2-E30∙I1+0∙ I2+R13I3+R14I4+0∙I5+0∙I6+R17∙I7=E3 R11∙I1+0∙I2+0∙I3+0∙I4+R15I5+R16I6+0∙I7=E1
0 1 1 –1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 -1
0 -1 -1 0 0 0 1
-1 0 0 0 0 1 0
0 R12
-R13
0 0 0 0
0 0
R13
R14
0 0 R17
R11
0 0 0
R15
R16
R17
×I1I2I3I4I5I6I7=000J1E2-E3E3E1 (15)
Вводим следующие обозначения в системе уравнений, записанной в матричной форме (15):
матрица системы или матрица коэффициентов при неизвестных R:
0 1 1 –1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 -1
0 -1 -1 0 0 0 1
R=
-1 0 0 0 0 1 0
0 R12
-R13
0 0 0 0
0 0
R13
R14
0 0 R17
R11
0 0 0
R15
R16
R17
0 1 1 –1 0 0 0

(16)
матрица-столбец неизвестных переменных I, в качестве которых в данном случае рассматриваются токи I1 – I8:
I=I1I2I3I4I5I6I7 (17)
матрица-столбец свободных членов Е:
E=000J1E2-E3E3E1 (18)
Учитывая обозначения (16)-(18) систему уравнений (15) можно записать в следующем виде:
RI=E (19)
Полученная система уравнений (19) может быть решена относительно токов одним из известных методов решения системы алгебраических линейных уравнений (методом Крамера, методом Гаусса, с использованием обратной матрицы и т.п.). В данной работе для решения системы уравнений (19) используется метод Крамера. Согласно данному методу каждый из неизвестных токов, входящих в матрицу столбец I (17) будет определяться следующим образом:
I1=∆1∆I2=∆2∆I3=∆3∆ ⋮I7=∆7∆ (20)
или:
Ik=∆k∆k=1,…,7 (21)
В последнем выражении: ∆ – определитель матрицы системы R; ∆k, k=1,…, 7 – определители матриц, получаемых на основании матрицы системы R путём замены k-го столбца в матрице системы R на матрицу-столбец свободных членов Е.
Таким образом, для определения числовых значений токов I1 – I7, подставляем соответствующие числовые значения параметров сопротивлений и источников электрической энергии в (12), (16) и (18), при этом получаем:
R11=37+0,1=37,1(Ом)R12=10+24+0,1=34,1 (Ом)R13=46+0,1=46,1 (Ом)R14=34 (Ом)R15=18 (Ом)R16=30 (Ом)R17=28 (Ом) (22)
Формируем матрицу системы (16), или матрицу коэффициентов при неизвестных R:
0 1 1 –1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 -1
0 -1 -1 0 0 0 1
R=
-1 0 0 0 0 1 0
0 34,1
-46,1
0 0 0 0
0 0
46,1
34
0 0 28
37,1
0 0 0
18
30
28
после чего вычисляем её определитель (например, с помощью приложения Microsoft Exсel):
∆=439100.
Формируем матрицу-столбец свободных членов Е (18):
E=0000,224-104610=0000,2144610
0 0
0 0
0 0
0,2 J1
14 E2-E3
46 E3
10 E1
Для определения неизвестных значений токов с помощью метода Крамера, формируем соответствующие матрицы согласно правилу (20)-(21), и вычисляем значения их определителей