Колебательный контур состоящий из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C, настроен на частоту f и период колебаний T. Энергия в контуре равна W. Зависимость силы тока от времени в колебательном контуре описывается уравнением i(t), напряжения на обкладках конденсатора – u(t), а заряда на обкладках конденсатора q(t). Амплитуда силы тока в контуре Im, а разности потенциалов и заряда на обкладках конденсатора Um и qmсоответственно. Найти величины, отмеченные знаком вопроса в таблице 6.
Вариант L, мГн
C, мкФ
f, МГц
W, мДж
i(t), мА
u(t), В
qm, мкКл
15
2
?
?
4
?
?
1
Таблица 6. Данные к задаче 6
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
f=0,32 МГц. C=125 пФ. it=2,000cos2,000∙106t.
ut=8000sin2,000∙106t.
Решение
Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью C и резистора сопротивлением R.
342901518285L
R≈0
C
Рисунок 9
00L
R≈0
C
Рисунок 9
В данной задаче рассматривается идеальный колебательный контур, где R пренебрежимо мал R≈0.
Свободные электромагнитные колебания – колебания заряда в контуре (точнее – на вкладках конденсатора), описываются следующим дифференциальным уравнением:
q+RLq+1LCq=0, (1)
Если R=0, то из (1) получается уравнение гармонических колебаний:
q+1LCq=0 (2)
Решением этого уравнений является
q=qmsinω0t+φ,
где qm- амплитудное значение заряда;
ω0=2πf=1LC- (3)
собственная циклическая частота контура; φ- начальная фаза.
Пусть начальная фаза φ=0
. Тогда
qt=qmsin2πft. (4)
По определению, сила тока равна первому производному заряда по времени, поэтому продифференцировав уравнение (4), получим:
it=dqtdt=q=2πfqmcos2πft. (5)
Здесь Im=2πfqm- максимальное Значение силы тока.
Полная электромагнитная энергия идеального колебательного контура в момент времени t равна сумме электрической энергии конденсатора Wэл и магнитной энергии катушки Wмаг:
W=Wмаг+Wэл=Li22+Cu22.
Эта же энергия по закону сохранения энергии, можно выражать через максимальное значение энергии магнитного поля катушки Wmмаг и максимальное значение энергии электрического поля конденсатора Wmэл:
W=Wmмаг=LIm22=CUm22=Emэл.
Отсюда получим:
W=LIm22=L2πfqm22=2π2Lqm2f2;
f=W2π2Lqm2=1πqmW2L
f=1πqmW2L
Проверка на размерность:
f=Кл-1∙ДжГн=с-1∙А-1∙м2∙кг∙с-2м2∙кг∙с-2∙А-2=с-1∙А-1∙А=с-1=Гц.
Вычислим:
f=13,142∙10-64∙10-32∙2∙10-3=318310 Гц.
f=318310 Гц≈0,32 МГц.
Емкость конденсатора определим из (3):
2πf=1LC⟺4π2f2=1LC⟺C=14π2f2L.
Проверка на размерность
C=Гц-2∙Гн-1=с2∙м2∙кг∙с-2∙А-2-1=с2∙м-2∙кг-1∙с2∙А2==м-2∙кг-1∙с4∙А2=Ф.
Вычислим:
C=14∙π2∙3183102∙2∙10-3=1,250∙10-10Ф=125 пФ;
C=125 пФ.
Сила тока как функция времени по (5):
it=2πfqmcos2πft=2∙3,142∙318310∙10-6cos2∙3,142∙318310t==2,000cos2000300t=2,000cos2,000∙106t;
it=2,000cos2,000∙106t.
Изменение разности потенциалов u(t) на обкладках конденсатора
ut=qtC=qmCcos2πft=10-61,250∙10-10sin2000300t=8000sin2,000∙106t
ut=8000sin2,000∙106t.
Ответ: f=0,32 МГц
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
