а) По имеющимся статистическим данным составить уравнение модельной линии регрессии у = kх + b, зависимости величины Y от параметра Х. Коэффициенты уравнения определить по методу наименьших квадратов.
б) Оценить тесноту связи между переменными Х и Y по выборочному коэффициенту корреляции.
в) Построить график экспериментальных данных и модельной прямой.
г) Оценить величину погрешности модельного уравнения.
д) Провести оценку значимости параметров уравнения и составить для них доверительные интервалы с доверительной вероятностью =0,95.
Зависимость веса Y (фунтов) от возраста Х (недель) 13 индеек
Хi 28 20 32 22 29 27 28 26 21 27 29 23 25
Yi 12,3 8,9 15,1 10,4 13,1 12,4 13,2 11,8 11,5 14,2 15,4 13,1 13,8
Решение
Параметры уравнения у = кх + b найдем методом наименьших квадратов.
Составим систему нормальных уравнений
Вычислим все необходимые суммы с помощью таблицы
хi yi xi2 xiyi yi2 yp i i2
28 12,3 784 344,4 151,29 13,5445 -1,2445 1,548769
20 8,9 400 178 79,21 10,32125 -1,42125 2,019962
32 15,1 1024 483,2 228,01 15,15612 -0,05612 0,003149
22 10,4 484 228,8 108,16 11,12706 -0,72706 0,528622
29 13,1 841 379,9 171,61 13,9474 -0,8474 0,718088
27 12,4 729 334,8 153,76 13,14159 -0,74159 0,549956
28 13,2 784 369,6 174,24 13,5445 -0,3445 0,118677
26 11,8 676 306,8 139,24 12,73869 -0,93869 0,88113
21 11,5 441 241,5 132,25 10,72416 0,775841 0,601929
27 14,2 729 383,4 201,64 13,14159 1,05841 1,120231
29 15,4 841 446,6 237,16 13,9474 1,452599 2,110045
23 13,1 529 301,3 171,61 11,52997 1,570031 2,464996
25 13,8 625 345 190,44 12,33578 1,46422 2,143941
337 165,2 8887 4343,3 2138,62 165,2
14,8095
х=25,92 у=12,71 х2=683,62 ху=334,1 у2=164,51
Получим систему уравнений
Решая эту систему, найдем значения параметров к = 0,40 и b = 2,26.
Следовательно, уравнение у = 0,404х + 2,26 является модельным уравнением
. Оценим тесноту связи между переменными Х и Y по выборочному коэффициенту корреляции
Для нашей задачи r =0,7895. Так как выборочный коэффициент r близок к единице, то между переменными Х (возраст) и Y (вес) существует тесная.
Используя модельное уравнение, найдем расчетные значения у и построим график
Ломаная линия на графике отражает фактические значения у, а прямая линия построена с помощью уравнения регрессии и отражает тенденцию изменения веса в зависимости от возраста.
Оценим величину погрешности полученного уравнения. Рассмотрим характеристики, по значениям которых можно определить качество модели и возможность осуществлять прогнозирование результативного признака.
Обозначим разность между фактическим значением результативного признака и его расчетным значением как i
εi=yi-yp.
В качестве суммарной погрешности выберем величину
S2=εi2n-2, являющуюся остаточной дисперсией.
Для нашего примера S2 = 1,346.
Стандартная ошибка уравнения, выполняющая роль абсолютной ошибки, находится по формуле: , в нашем случае = 1,1603.
Найдем относительную погрешность модельного уравнения , где – среднее значение результативного признака, получим = 13,68 %.
По величине относительной погрешности можно судить о наличии прогнозных качеств у модельного уравнения
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
