Как изменится однородное электрическое поле с напряженностью E0

Выберем систему координат 0xy так, чтобы начало находилось на оси цилиндра, а ось 0x, была ориентирована по направлению внешнего поля E0. Для потенциала электростатического поля u1r,φ внутри цилиндра и u2r,θ вне цилиндра имеем следующую краевую задачу:
Внутри цилиндра
Δu1r,φ≡1r∂∂rr∂u1∂r+1r2∂2u1∂φ2=0, 0≤ r≤r0.
(1)
Вне шара
Δu2r,φ≡1r∂∂rr∂u2∂r+1r2∂2u2∂φ2=0, r≥r0.
(2)
С условием на бесконечности (однородное поле)
u2r,φ=-E0rcosφ, при r→∞.
(3)
Поскольку на поверхности цилиндра нет свободных зарядов, то при r=r0 должны выполняться условия согласования, непрерывность потенциала и нормальной компоненты вектора электрического смещения
u1r0,φ=u2r0,φ,
(4)
ε1E1nr=r0=ε2E2nr=r0.
Диэлектрическая проницаемость цилиндра ε1=ε. Если цилиндр находится в вакууме, то ε2=1. Нормальные составляющие вектора напряженности
E1n=-∂u1∂n=-∂u1∂r; E2n=-∂u2∂r.
Следовательно,
ε∂u1r0,φ∂r=∂u2r0,φ∂r.
(5)
Исходя из граничного условия (3) будем искать решение краевой задачи (1) − (5) в виде
u1r,φ=R1rcosφ, u2r,φ=R2rcosφ
(6)
Подставляем в уравнения (1), (2) и в условия (3) − (5)
1rddrrdR1rdrcosφ+R1rr2d2cosφ∂φ2=0
1rddrrdR1rdrcosφ-R1rr2cosφ=0
rddrrdR1rdr-R1r=0,
r2R1''r+rR1'r-R1r=0, r≤r0.
Аналогично находим
r2R2''r+rR2'r-R2r=0, r≥r0.
R2r=-E0r, при r→∞.
R1r0=R2r0
εR1'r0=R2'r0
Таким образом переменные разделились . Для R1(r) и R2(r) получили однотипные уравнения Эйлера второго порядка. Решение ищем в виде Rr~rα. Подставляем в уравнение
r2αα-1rα-2+rαrα-1-rα=0,
α2-1=0, ⇒ α1=1, α2=-1.
Следовательно, радиальные функции будут
R1r=Ar+B1r,
R2r=Cr+D1r.
По физическому смыслу задачи решение должно быть ограниченным, следовательно B=0, поскольку функция r-1 неограниченна при r→0.
Из условия при r→∞ находим, что C=-E0.
R1r=Ar, R2r=-E0r+D1r
Постоянные A и D найдем из условий согласования при r=r0
Ar0=-E0r0+D1r0εA=-E0-D1r02 ⟹ A=-E0+D1r02εA=-E0-D1r02
εA+A=-2E0, ⟹ A=-2E0ε+1 ,
D=-εA+E0r02=--2εE0ε+1 +E0r02=E0(ε-1)r02ε+1
R1r=-2E0rε+1 , 0≤r<r0,
R2r=-E0r+E0(ε-1)r02ε+1r , r0≤r.
Потенциал электростатического поля внутри и вне цилиндра
u1r,φ=-2E0rε+1 cosφ, 0≤r<r0
u2r,φ=-E0r-(ε-1)r02ε+1r cosφ, r0≤r.
Напряженность электростатического поля в цилиндре равна
E1=-grad u1.
E1r=-∂u1∂r=-∂∂r-2E0rε+1 cosφ=2E0ε+1 cosφ,
E1φ=-1r∂u1∂φ=-1r∂∂φ-2E0rε+1 cosφ=-2E0ε+1 sinφ,
E1=E1r2+E1φ2=2E0ε+1 .
Напряженность электростатического поля вне цилиндра равна
E2=-grad u2.
E2r=-∂u2∂r=-∂∂r-E0r-(ε-1)r02ε+1r cosφ=E01+(ε-1)r02ε+1r2cosφ,
E2φ=-1r∂u2∂φ=-1r∂∂φ-E0r-(ε-1)r02ε+1r cosφ=-E01-(ε-1)r02ε+1r2 sinφ,
E2=E2r2+E2φ2=E01+(ε-1)r02ε+1r2cosφ2+1-(ε-1)r02ε+1r2 sinφ2.
Схематическая картина изопотенциальных линий представлена на рис