К стальному валу приложены три известных момента: =1700 Н·м, =700 Н·м, = 1600 Н·м, а = 1,7 м, b = 1,8 м, с = 1,7 м.
Рисунок 1
Требуется:
1. Установить, при каком значении момента Х угол закручивания правого концевого сечения вала равен нулю.
Построить эпюру крутящих моментов.
При заданном значении определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшего большого, соответственно равного 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм.
Построить эпюру углов закручивания.
Найти наибольший относительный угол закручивания и проверить вал на жесткость при .
Решение
Задача является статически неопределимой, так как невозможно определить из одного уравнения равновесия два неизвестных момента Tp и X. Для решения составим одно уравнение статики и одно уравнение совместности деформации. Уравнение статики представляем в виде уравнения моментов относительно продольной оси вала
Рисунок 2
T=-Tp-T1+T2+T3-X=0.
Угол закручивания правого концевого сечения может быть выражен как алгебраическая сумма взаимных углов закручивания сечений отдельных участков под действием каждого из моментов в отдельности
φ=φ1+φ2+φ3+φ4=0,где − угол закручивания вала на участке 0-1 под действием момента ; − угол закручивания вала на участке под действием момента ; − угол закручивания вала на участке под действием момента ; − угол закручивания вала на участке 3-4 под действием неизвестного момента Х.
φ1=-T1aGJp ; φ2=T2a+bGJp; φ3=T3a+b+cGJp ; φ4=-X2a+b+cGJp.
φ=-T1aGJp+T2a+bGJp+T3a+b+cGJp-X2a+b+cGJp=-T1a+T2a+b+T3a+b+c-X2a+b+c=0.
Подставив данные, получим
-1700⋅1,7+700⋅1,7+1,8+1600⋅1,7+1,8+1,7-X2⋅1,7+1,8+1,7=0;
откуда
X=-1700⋅1,7+700⋅1,7+1,8+1600⋅1,7+1,8+1,72⋅1,7+1,8+1,7=1142,03 Н·м.
Реактивный момент находим из уравнения статики:
-Tp-T1+T2+T3+X=0; Tp=-T1+T2+T3+X;Tp=-1700+700+1600+1142,03=-1742,03 Н⋅м.
2. Для построения эпюры моментов определяем значения моментов методом сечений.
В сечении IV-IV TIV=1142,03 Н⋅м.
В сечении III-III TIII=1142,03 -1600=-457,97 Н⋅м.
В сечении II-II TII=1142,03-1600-700=-1157,97 Н⋅м.
В сечении I-I TI=1142,03-1600-700+1700=542,03 Н⋅м.
WP≥Tmaxτadm≥1157,9765⋅106≥17,81⋅10-6 м3,
где τadm=65 МПа; Tmax=1157,97 Н⋅м.
Из соотношения найдем диаметр вала:
d=316⋅WPπ=316⋅17,81⋅10-63,14=0,00449 м=44,9 мм.
Принимаем диаметр вала равным 46 мм.
4. Углы закручивания вала на участках находим по формуле (3.3)
. Для этого сначала найдем
Jp=3,14⋅4,6432=43,96 см4=43,96⋅10-8 м4.
φI=TIaGJp=542,03⋅10-6⋅1,78⋅104⋅43,96⋅10-8=0,0262 рад
φII=TIIbGJp=--1157,97⋅10-6⋅1,88⋅104⋅43,96⋅10-8=-0,0593 рад
φIII=TIIIcGJp=-457,97⋅10-6⋅1,78⋅104⋅43,96⋅10-8=-0,0221 рад
φIV=TIVaGJp=1142,03⋅10-6⋅1,78⋅104⋅43,96⋅10-8=0,0552 рад
В месте жёсткой заделки в сечении 0 вал неподвижен
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
