К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное поперечное сечение, приложены четыре момента. Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый конец — свободен и его торец имеет угловые перемещения относительно левого конца.
Дано:
Рис.4.I, а =1,8м, b =1,8м, с =1,8м, Т1= 5,9 кН·м, Т2 = 2,9 кН·м, Т3= 1,9 кН·м,
Т4 = 0,9 кН·м, [τ] = 50 МПа, E=2·105 МН/м2.
Требуется:
1) построить эпюру крутящих моментов по длине вала;
2) при заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d1 и d2 вала из расчета на прочность, полученные значения округлить;
3) построить эпюру действительных напряжений кручения по длине вала;
4) построить эпюру углов закручивания, приняв G≈0,4E.
Рис.4.I.
Решение
Построение эпюры крутящих моментов
Разбиваем длину вала на четыре участка: 0-1, 1-2, 2-3 и 3-4. Применив метод сечений на каждом из участков, определяем моменты внутренних сил МК.
К сечения подходим со стороны свободного конца вала, чтобы не определять специально реактивный момент в сечении жесткой заделки, рассматривая равновесие отсеченной части вала.
Участок 3-4: - МК3-4 - Т4 = 0, ⇒ МК3-4 = - Т4 = - 0,9 кН·м = const.
Участок 2- 3: - МК2-3 - Т4 + Т3 = 0, ⇒ МК2-3 = -Т4 + Т3 = - 0,9 +1,9= 1,0 кН·м = const.
Участок1- 2: - МК1-2 -Т4 +Т3 +Т2 = 0, ⇒ МК2-3 = -Т4 +Т3 +Т2 =1,0+2,9 = 3,9 кН·м = const
Участок 0- 1:- МК0-1 -Т4 +Т3 +Т2 +Т1 =0, ⇒ МК0-1 =-Т4 +Т3 +Т2 +Т1 =3,9+5,9 = 9,8 кН·м
По полученным результатам строим эпюру МК ≡ МZ.
2. Определяем диаметры вала из расчета на прочность
. В расчет принимаем крутящий момент, момент наибольший по абсолютной величине (с эпюры МК).
Условие прочности имеет вид: τmax = МКmax/WP ≤ [τ], где WP = π·d3/16 - полярный момент сопротивления круглого сплошного сечения.
Из условия прочности находим требуемый диаметр вала:
d ≥ (16·МКmax/π·[τ])1/3. Для участков 0-1 и 1-2: МКmax = 9,8 кН·м, тогда:
d1 ≥ (16·9,8·103/3,14·50·106)1/3 = 100,0·10 -3 м = 100,0мм.
Для участков 2-3 и 3-4: МКmax = 1,0 кН·м, тогда:
d2 ≥ (16·1,0·103/3,14·50·106)1/3 = 46,7·10 -3 м = 46,7мм. Округляем до ближайшего большего стандартного значения, принимая d1 =100,0мм, d2 =50,0мм.
3. Построение эпюры действительных напряжений кручения по длине вала.
Находим полярные моменты сопротивлений сечений:
W1P = π·d13/16 = 3,14·(10,0·10-2)3/16 = 196,25·10-6 м3
W2P = π·d23/16 = 3,14·(5,0·10-2)3/16 = 24,53·10-6 м3.
τ0-1 = МК0-1/ W1P = 9,8·103/196,25·10-6 = 49,94·106 Н/м2 = 49,94 МПа.
τ1-2 = МК1-2/ W1P = 3,9·103/196,25·10-6 = 19,87 МПа.
τ2-3 = МК2-3/ W2P = 1,0·103/24,53·10-6 = 40,77 МПа.
τ3-4 = МК3-4/ W2P = - 0,9·103/24,53·10-6 = - 35,25 МПа
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
