Известна функция полезности Никиты U = XY

Найдем полезность этих наборов:
U1= XY = 6*2= 12 усл. единиц
U2= XY = 3*4= 12 усл. единиц
Полезность наборов одинакова
Найдем цены благ, исходя из того, что Никита тратит весь бюджет на покупку каждого из наборов (Х=6; Y=2) и (Х=3; Y=4). Для каждого набора должно выполняться бюджетное ограничение:
PXХ + PYY = I
По условию доход равен I = 36
Тогда получим 2 уравнения:
6PX + 2PY = 36
3PX + 4PY = 36
Отсюда
3PX + PY = 18
3PX + 4PY = 36
Или
3PX = 18 –PY
3PX = 36 – 4PY
18 –PY = 36 – 4PY
3PY = 18
PY = 18/3 = 6
PX = (18 – PY)/3 = (18 – 6)/3 = 4
Итак, мы нашли цены благ:
PX = 4; PY = 6
Условие оптимальности (равновесия) потребителя . Потребитель получит максимум полезности, если он распределит весь свой бюджет
I = PXХ + PYY (1),
так, что
MUX/PX = MUY/PY.
или
PX/PY = MUX/ MUY (2)
Предельные полезности благ Х и Y (MUX и MUY) – это производные функции полезности (U= XY ) по Х и Y соответственно:
MUX = (XY)X' = Y
MUY = (XY)Y ' = X
MUХ/ MUY = Y/X
PX/PY = 4/6=2/3
Поэтому для оптимального набора должно выполняться равенство:
Y/X =2/3
Или
Y =2/3*X
Для 2 данных наборов это условие не выполняется:
Для первого (Х=6, Y=2)
Y/X =2/6=1/3
Для второго (Х=3, Y=4)
Y/X =4/3
Вывод: эти наборы не являются максимально полезными.
Найдем оптимальный набор, на покупку которого Никита должен истратить весь свой доход:
PXХ + PYY = I
4Х + 6Y = 36
Подставим Y =2/3*X:
4Х + 6*2/3*Х = 36
8Х=36
Х=36/8=4,5
Y =2/3*X = 2/3*4,5=3
Найдем полезность оптимального набора (Х=4,5; Y=3):
U= XY = 4,5*3 = 13,5 усл