Из генеральной совокупности извлечена выборка, которая представлена в виде интервального вариационною ряда, а) Предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение, построить доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью γ=0,95. б) Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса, используя упрощенный метод вычислений, и сделать соответствующие предположения о виде функции распределения генеральной совокупности, в) Используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о нормальности распределения генеральной генеральной совокупности при уровне значимости α=0,05.
X 20-28 28-36 36-44 44-52 52-60 60-68 68-76
п 12 21 29 37 27 17 11
Решение
А) Вычислим основные числовые характеристики данного вариационного ряда, используя упрощенный метод расчета моментов. Для этого вместо интервального ряда введем дискретный, записав вместо интервалов только середины интервалов, а результаты занесем в таблицу. По упрощенному методу вводим новую переменную
xi ni ui niui
24 12 -3 -36 108 -324 972
32 21 -2 -42 84 -168 336
40 29 -1 -29 29 -29 29
48 37 0 0 0 0 0
56 27 1 27 27 27 27
64 17 2 34 68 136 272
72 11 3 33 99 297 891
154 -13 415 -61 2527
Далее, в соответствии с данными таблицы получаем
Однако выборочная дисперсия является смещенной оценкой, т.е. она дает заниженное значение дисперсии генеральной совокупности. Поэтому вместо выборочной дисперсии используют исправленную выборочную дисперсию
В данном случае
Тогда среднеквадратичное отклонение равно
Доверительным интервалом (α,β) для статистического параметра называется интервал, который с заданной вероятностью γ "накрывает" неизвестное значение параметра, т.е.
.
Доверительный интервал для математического ожидания a, в случае нормального распределения с неизвестным средним квадратичным отклонением (точнее, известна только его оценка), имеет вид
,
где t – коэффициент, связанный с распределением Стьюдента и определяемый объемом выборки n и доверительной вероятностью γ
. Коэффициент t обычно находится из таблиц по заданным степеням свободы k=n–1 и доверительной вероятности γ (или уровню значимости α=1–γ).
В рассматриваемом случае n = 154, следовательно k = 153. Тогда, при γ = 0,95, по таблицам для распределения Стьюдента, находим,
В результате получаем
Отсюда
или
б) Найдем теперь выборочные значения начальных и центральных моментов:
, .
По упрощенному методу, сначала вычисляется центральный момент для новой переменной mk(u), а затем находят моменты для заданной переменной mk(x) по формуле
.
Между начальными и центральными моментами существует взаимосвязь:
, .
Здесь нужно иметь в виду, что , .
Найдем начальные моменты по данным таблицы:
Тогда
Зная моменты 3-го и 4-го порядков, можно вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс:
Асимметрия положительна, следовательно, распределение характеризуется незначительной правосторонней асимметрией. Отрицательный эксцесс указывает на более плосковершинное распределение по сравнению с нормальным.
Определим теперь значимость коэффициентов асимметрии и эксцесса
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
