Из 500 рабочих, обслуживающих цех производства окиси этилена, было отобрано 100 человек для контрольной проверки коэффициента использования рабочего времени в отчётном году по сравнению с предыдущим.
Были получены следующие данные:
Коэффициент использования рабочего времени 0,8-0,84 0,84-0,88 0,88-0,92 0,92-0,96 0,96-1 Итого
Число рабочих 12 17 33 27 11 100
1. Используя критерий χ2 Пирсона, при уровне значимости α= 0,025 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – средний коэффициент использования рабочего времени распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
2. Найти:
а) вероятность того, что средний коэффициент использования рабочего времени в отчётном году отличается от идеального среднего коэффициента не более чем на 0,01 (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,9606 заключен средний коэффициент использования рабочего времени одного рабочего этого цеха;
в) каким должен быть объём выборки, чтобы с вероятностью 0,7373 можно было утверждать, что доля рабочих в цехе, коэффициент использования рабочего времени которых будет менее 0,88, отличалась от доли таких рабочих в выборке не более чем на 0,02 (по абсолютной величине)?
Решение
Найдем выборочную среднюю и средне квадратическое отклонение.
Обозначим xi – середины интервалов величины коэффициента использования рабочего времени.
Коэффициент использования рабочего времени 0,8-0,84 0,84-0,88 0,88-0,92 0,92-0,96 0,96-1 Итого
xi
0,82 0,86 0,90 0,94 0,98
Число рабочих, mi
12 17 33 27 11 100
Вычислим средний коэффициент использования рабочего времени, то есть выборочную среднюю по формуле
x=1ni=15x mi
Подставляя в формулу данные задачи, получаем:
xв=0,82∙12+0,86∙17+0,9∙33+0,94∙27+0,98∙11100=0,9
Вычислим дисперсию по формуле:
D=1ni=15x2mi-xв2
Тогда
Dв=0,822∙12+0,862∙17+0,92∙33+0,942∙27+0,982∙11100-0,92=
=0,002
Среднее квадратическое отклонение равно
σв=Dв=0,002≈0,047
Исправленное среднее квадратическое отклонение:
s=nn-1∙Dв=10099∙0.002≈0.045
Проверим гипотезу Н0: «случайная величина Х – средний коэффициент использования рабочего времени распределена по нормальному закону».
Функция плотности вероятности и функция распределения имеют вид: fx=12π∙σ∙e-(x-a)22∙σ2 и Fx=12+12Фx-aσ
В качестве оценок параметров возьмем выборочное средне значение и среднее квадратическое отклонение: a≈x=0,9 и s≈σ=0,045.
Тогда функция плотности будет иметь вид fx=12π∙0,045∙e-(x-0,9)22∙0,0452 и функция распределения Fx=12+12Фx-0,90,045
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле:
χнабл2=i=15mi-mi'2mi'
где mi' – теоретическая частота, pi - теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-ый интервал.
Вероятность pi попадания случайной величины Х в интервал найдем по формуле
pi=Pxi<X<xi+1=12∙Фxi+1-aσ-Фxi-aσ=
=12∙Фxi+1-0,90,047-Фxi-0,90,047
Для каждого промежутка получаем:
p1=P0,8<X<0,84=12∙Ф0,84-0,90,047-Ф0,8-0,90,047=
=12∙Ф-1,28-Ф-2,13=12∙-0,7984+0,9668=0,0842
p2=P0,84<X<0,88=12∙Ф0,88-0,90,047-Ф0,84-0,90,047=
=12∙Ф-0,43-Ф-1,28=12∙-0,3328+0,7984=0,2328
p3=P0,88<X<0,92=12∙Ф0,92-0,90,047-Ф0,88-0,90,047=
=12∙Ф0,43-Ф-0,43=12∙0,3328+0,3328=0,3328
p4=P0,92<X<0,96=12∙Ф0,96-0,90,047-Ф0,92-0,90,047=
=12∙Ф1,28-Ф0,43=12∙0,7984-0,33288=0,2328
p5=P0,96<X<1=12∙Ф1-0,90,047-Ф0,96-0,90,047=
=12∙Ф2,13-Ф1,28=12∙0,9668-0,7984=0,0842
Составим расчетную таблицу
i
Интервал Эмпириче ские частоты, ni
Вероятность, pi
Теоретические частоты, ni'=npi
ni-ni'2ni'
1 0,8 – 0,84 12 0,0842 8,42 1,522
2 0,84 – 0,88 17 0,2328 23,28 1,694
3 0,88 – 0,92 33 0,3328 33,28 0,002
4 0,92 – 0,96 27 0,2328 23,28 0,594
5 0,96 – 1 11 0,0842 8,42 0,791
∑
100 ≈1
4,604
Наблюдаемое значение критерия Пирсона равно:
χнабл2=i=15ni-ni'2ni'=4,604
По таблице критических точек распределения χ2, по заданному уровню значимости α= 0,025 и числу степеней свободы k =5-2-1=2 найдём критическое значение χкр2α;k=χкр20,025;2=7,38
Так как χнабл2<χкр2, то нет оснований отвергнуть проверяемую нулевую гипотезу
. То есть принимаем предположение, что случайная величина Х – средний коэффициент использования рабочего времени распределена по нормальному закону с параметрами a=0,9 и σ= 0,047
Построим на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Гистограмма - это совокупность прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы (xi; xi+1], а высота которых равна fi*=pi*h, где h=xi+1-xi=0,84-0,8=0,04, pi*=ni100.
Составим таблицу
xi-xi+1
0,8-0,84 0,84-0,88 0,88-0,92 0,92-0,96 0,96-1 Итого
ni
12 17 33 27 11 100
pi*
0,12 0,17 0,33 0,27 0,11 1
fi*
3 4,25 8,25 6,75 2,75
Для построения графика нормальной кривой отметим точки x; pih
xi
0,82 0,86 0,90 0,94 0,98
pih
2,105 5,82 8,32 5,82 2,105
Рис.8
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
