Исследовать устойчивость системы, которая описывается передаточной функцией: а) корневым методом; б) по критерию Рауса-Гурвица и по критерию Михайлова; в) по критерию Найквиста. Определить запас устойчивости
Решение
Часть а
По корневому критерию, система устойчива, если все корни характеристического уравнения системы – знаменателя ПФ системы – имеют отрицательную вещественную часть.
Найдём корни с помощью пакета MathCAD:
Система имеет в решении 2 корня с положительной вещественной частью.
Система неустойчива.
Часть б
Критерий Гурвица
Оцениваем устойчивость системы алгебраическим критерием Гурвица. Выделяем характеристический полином системы – знаменатель ПФ:
По необходимому условию Гурвица, все коэффициенты характеристического полинома должны быть положительными. Необходимое условие устойчивости выполняется.
По достаточному условию устойчивости, все определители матрицы Гурвица должны быть положительными. Формируем матрицу Гурвица:
Из коэффициентов характеристического уравнения системы a0pn + a1pn-1 + … + an = 0 составляется таблица, называемая матрицей Гурвица по следующему правилу:
1) по диагонали сверху вниз записываются все коэффициенты, начиная с a1 до an в порядке возрастания индексов;
2) столбцы дополняются вверх коэффициентами с возрастающими индексами, вниз коэффициентами с убывающими индексами;
3) на месте коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляются нули.
Матрица Гурвица:
Рассчитываем определители матрицы Гурвица:
Определители 3 и 4 порядков матрицы Гурвица отрицательные, следовательно, система неустойчива.
Критерий Михайлова
По частотному критерию Михайлова, система устойчива, если годограф Михайлова системы начинается на положительной полуоси, и раскручиваясь против часовой стрелки, последовательно проходит n четвертей (n – порядок характеристического полинома системы), не проходя через точку начала координат.
Проведём в характеристическом полиноме замкнутой системы замену p = i·ω, где i – мнимая единица; ω – частота:
Выделяем действительную и мнимую составляющую:
Откладывая по оси абсцисс действительную составляющую, а по оси ординат мнимую составляющую, строим годограф Михайлова:
Годограф Михайлова нарушает порядок перехода четвертей, т.к
на новый заказ в Автор24.
