Исследовать функцию с помощью производных и построить график

1. Область определения функции:Dy=(-∞;+∞)
2. Выясним будет ли функция четной или не четной
y-x=-x4+4∙(-x)2=x4+4x2
y-x=yxфункция является четной
3. Найдем точки пересечения с осями.
С осью у, х=0, тогда y=04+4∙02=0;А(0;0)
С осью х, у=0, тогда x4-2x2=0;x2x2-2=0;x=0;x=±2;0;0;(±2;0)
В-2;0;С2;0;O(0;0)-точки пересечения с осью Ох
4. Найдем асимптоты функции.
найдем наклонную асимптоту.
k=limx→±∞y(x)x=limx→±∞ x4+4x2x=±∞
наклонных асимптот нет.
5 . Промежутки монотонности и экстремумы найдем при помощи 1-й производной:
y'=x4+4x2'=4x3+8x
Критические точки по 1-й производной:
y'=0;4x3+8x=0;4xx2+2=0;4x=0 или x2+2=0⇒
x1=0;
Производная обращается в нуль при x=0
Область определения поделилась точками на промежутки:
(-∞;0),(0;+∞)
Исследуем поведение производной в этих промежутках.y'=4x3+8x=4xx2+2
Последующие рассуждения представим в таблице:
x (-∞;0)
0
(0;+∞)
y'(x)
-
0 +
y(x)
↘
0
↗
Определяем промежутки монотонности:
В промежутке (-∞;0)функция убывает, а в промежутке (0;+∞) функция возрастает
Определяем экстремумы функции.
При переходе через точку х=0 производная меняет знак с « -» на « +», значит
х=0 является точкой минимума.
y0=0
6