Исследование поступательного и вращательного движения твердого тела

В данной механической системе колеса 1 и 2 механизма вращаются вокруг неподвижных осей, а поднимаемый груз 3 совершает поступательное движение.
Напишем дифференциальные уравнения движения каждого из этих трех тел, для чего отделим одно от другого, разрезав нить, удерживающую груз 3, и разъединив колеса 1 и 2 в точках соприкасания зубцов.
К колесу 1 механизма приложены сила тяжести движущий момент М, составляющие реакции подшипника окружное усилие и нормальная реакция колеса 2.
К колесу 2 механизма приложены сила тяжести момент сопротивления составляющие реакции подшипника натяжение нити , к которой подвешен груз 3, окружное усилие и нормальная реакция колеса 1.
К грузу 3 приложены сила тяжести и натяжение нити .
Очевидно: , .
Составим дифференциальное уравнение вращения колеса 1 вокруг неподвижной оси .
здесь - главный момент внешних сил, приложенных к колесу 1 относительно оси
Момент М приводит в движение систему и поэтому принят положительным, а момент, создаваемый усилием , препятствует вращению колеса 1 и, следовательно, отрицателен.
Дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 1 примет вид
(1)
Дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 2 имеет вид
(2)
Составим дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3:
(3)
В уравнениях (1), (2), (3) неизвестными являются силы и , а также функции и - угловых ускорений колес 1, 2 и ускорение груза 3 соответственно.
Указанные функции связаны между собой соотношениями
(4)
(5)
так, что в трех уравнениях - три неизвестные: Т, S и
Выразим из (4):
и подставим в (2):
(6)
Исключим из дифференциального уравнения (1) силу T для чего выразим
Учитывая (5) напишем
Тогда (6) приобретает вид
Или
(7)
Исключим из (1) и (7), для чего умножим (1) на а (7)-на :
Сложив соответствующие части полученных уравнений» имеем
Откуда
(8)
Выражение (8) определяет в общем виде угловое ускорение колеса 1 механизма.
Моменты инерции колес 1 и 2 относительно осей и :

Учитывая исходные данные, найдем:
Теперь по формуле (8) получаем
(9)
Интегрируем это уравнение дважды, используя следующие начальные условия задачи: при

Первый интеграл
Второй интеграл
Напишем полученные уравнения и для
откуда
Уравнение угловой скорости колеса 1 имеет вид
Искомое уравнение вращательного движения колеса 1 имеет вид:
Натяжение нити Т найдем, как было показано, из уравнения (3):
Или
При , учитывая (9) и исходные данные, имеем
Окружное усилие определяем .из уравнения (1):
При